20xx年福建省中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析-資料下載頁(yè)
2025-06-23 17:53本頁(yè)面
【正文】 zamp。step%.co@m~]25．已知直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，且．（Ⅰ）求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；（Ⅱ）說(shuō)明直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；（Ⅲ）直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為．（ⅰ）若，求線段長(zhǎng)度的取值范圍；（ⅱ）求面積的最小值．[來(lái)源%^:@*中教網(wǎng)amp。]【答案】（Ⅰ）拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）；（Ⅱ）理由見(jiàn)解析；（Ⅲ）（i）5≤MN≤7.（ii）△QMN面積的最小值為.【解析】試題分析：（Ⅰ）由拋物線過(guò)點(diǎn)M（1，0），可得b=2a，將解析式y(tǒng)=ax2+ax+b=ax2+ax2a配方得y=a(x+ )2 ,從而可得拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ， ）.[來(lái)@源:中國(guó)教育^出*版網(wǎng)amp。]（Ⅱ）由直線y=2x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，0），可得m=2.由y=2xy=ax2+ax2a，可得ax2+（a2）x2a+2=0，（*），由根的判別式可得方程(*)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而可得直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).（ii）作直線x= 交直線y=2x2于點(diǎn)E，得 E（，3），從而可得△QMN的面積S=S△QEN+S△QEM = ，即27a2+(8S54)a+24=0，（*）因?yàn)殛P(guān)于a的方程（*）有實(shí)數(shù)根， 從而可和S≥ ，繼而得到面積的最小值.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)M（1，0），所以a+a+b=0，即b=2a，所以y=ax2+ax+b=ax2+ax2a=a(x+)2 ,所以拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）.（Ⅱ）因?yàn)橹本€y=2x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，0），所以0=21+m，解得m=2.把y=2x2代入y=ax2+ax2a，得ax2+（a2）x2a+2=0，（*），所以△=(a2)24a(2a+2)=9a212a+4由（Ⅰ）知b=2a，又ab，所以a0，b0，所以△0，所以方程(*)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).（ii）作直線x= 交直線y=2x2于點(diǎn)E，把x=代入y=2x2得，y=3，即E（，3），又因?yàn)镸（1，0），N（2，6），且由（Ⅱ）知a0，所以△QMN的面積S=S△QEN+S△QEM= = ，即27a2+(8S54)a+24=0，（*）[來(lái)源:^@中教網(wǎng)amp。~%]因?yàn)殛P(guān)于a的方程（*）有實(shí)數(shù)根，所以△=（8S54）242724≥0，即（8S54）2≥（36 ）2，又因?yàn)閍0，所以S= ,所以8S540，所以8S540，所以8S54≥36，即S≥ ，當(dāng)S=時(shí)，由方程（*）可得a= 滿足題意.故當(dāng)a=，b =時(shí)，△QMN面積的最小值為.點(diǎn)睛：本題考查的二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，能正確地應(yīng)用待定系數(shù)法、一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)的性質(zhì)等是解決本題的關(guān)鍵.[中國(guó)^@%教育amp。出~版網(wǎng)][來(lái)源@:中國(guó)^教育出amp。版網(wǎng)~]
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