【正文】 、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查化歸思想，屬于中檔題． 20． （ 2022?福建）已知函數(shù) f（ x） =ex+ax2﹣ ex， a∈ R． （ Ⅰ ）若曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1））處的切線平行于 x 軸，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅱ ）試確定 a 的取值范圍，使得曲線 y=f（ x）上存在唯一的點(diǎn) P，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) P． 考點(diǎn) ： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。 專題 ： 綜合題。 分析： （ Ⅰ ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1））處的切線平行于 x 軸，可求 a 的值，令 f′（ x） =ex﹣ e＜ 0，可得函數(shù) f（ x）的單調(diào)減區(qū)間； 令 f′（ x）＞ 0，可得單調(diào)增區(qū)間； （ Ⅱ ）設(shè)點(diǎn) P（ x0， f（ x0）），曲線 y=f（ x）在點(diǎn) P 處的切線方程為 y=f′（ x0）（ x﹣ x0） +f（ x0），令 g（ x） =f（ x）﹣ f′（ x0）（ x﹣ x0） +f（ x0），曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) P 等價(jià)于 g（ x）有唯一零點(diǎn)，求出導(dǎo)函數(shù)，再進(jìn)行分類討論：（ 1）若 a≥0， g（ x）只有唯一零點(diǎn) x=x0，由 P 的任意性 a≥0 不合題意；（ 2）若 a＜ 0，令 h（ x） = ，則 h（ x0） =0， h′（ x） =ex+2a，可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可研究 g（ x）的零點(diǎn)，由此可得結(jié)論． 解答： 解：（ Ⅰ ）求導(dǎo)函數(shù)，可得 f′（ x） =ex+2ax﹣ e ∵ 曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1））處的切線平行于 x 軸， ∴ k=2a=0， ∴ a=0 ∴ f（ x） =ex﹣ ex， f′（ x） =ex﹣ e 令 f′（ x） =ex﹣ e＜ 0，可得 x＜ 1；令 f′（ x）＞ 0，可得 x＞ 1； ∴ 函數(shù) f（ x）的單調(diào)減區(qū)間為（﹣ ∞， 1），單調(diào)增區(qū)間為（ 1， +∞） （ Ⅱ ）設(shè)點(diǎn) P（ x0， f（ x0）），曲線 y=f（ x）在點(diǎn) P 處的切線方程為 y=f′（ x0）（ x﹣ x0） +f（ x0） 令 g（ x） =f（ x）﹣ f′（ x0）（ x﹣ x0） +f（ x0） ∵ 曲線 在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) P， ∴ g（ x）有唯一零點(diǎn) ∵ g（ x0） =0， g′（ x） = （ 1）若 a≥0，當(dāng) x＞ x0 時(shí)， g′（ x）＞ 0， ∴ x＞ x0時(shí)， g（ x）＞ g（ x0） =0 當(dāng) x＜ x0 時(shí)， g′（ x）＜ 0， ∴ x＜ x0時(shí)， g（ x）＞ g（ x0） =0，故 g（ x）只有唯一零點(diǎn) x=x0，由 P 的任意性 a≥0不合題意； （ 2）若 a＜ 0，令 h（ x） = ，則 h（ x0） =0， h′（ x） =ex+2a 令 h′（ x） =0，則 x=ln（﹣ 2a）， ∴ x∈ （﹣ ∞， ln（﹣ 2a））， h′（ x）＜ 0，函數(shù)單調(diào)遞減； x∈ （ ln（﹣ 2a）， +∞），h′（ x）＞ 0，函數(shù)單調(diào)遞增； ①若 x0=ln（﹣ 2a），由 x∈ （﹣ ∞， ln（﹣ 2a））， g′（ x）＞ 0； x∈ （ ln（﹣ 2a）， +∞）， g′（ x）＞ 0， ∴ g（ x）在 R 上單調(diào)遞增 ∴ g（ x）只有唯一零點(diǎn) x=x0； ②若 x0＞ ln（﹣ 2a），由 x∈ （ ln（﹣ 2a）， +∞）， h（ x）單調(diào)遞增，且 h（ x0） =0，則當(dāng) x∈ （ ln（﹣ 2a）， x0），g′（ x）＜ 0， g（ x）＞ g（ x0） =0 任取 x1∈ （ ln（﹣ 2a）， x0）， g（ x1）＞ 0， ∵ x∈ （﹣ ∞， x1）， ∴ g（ x）＜ ax2+bx+c，其中 b=﹣ e+f′（ x0）． c= ∵ a＜ 0， ∴ 必存在 x2＜ x1，使得 ∴ g（ x2）＜ 0，故 g（ x）在（ x2， x1）內(nèi)存在零點(diǎn)，即 g（ x）在 R 上至少有兩個(gè)零點(diǎn)； ③若 x0＜ ln（﹣ 2a），同理利用 ，可得 g（ x）在 R 上至少有兩個(gè)零點(diǎn)； 綜上所述， a＜ 0，曲線 y=f（ x）上存在唯一的點(diǎn) P，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) P（ ln（﹣ 2a），f（ ln（﹣ 2a）））． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題． 四、選考題（題設(shè)有（ 1）、（ 2）、（ 3）三個(gè) 選考題，每題 7 分，請(qǐng)考生任選 2 題作答，滿分 14 分。如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分。） 21．（ 2022?福建）（ 1）選修 4﹣ 2：矩陣與變換 設(shè)曲線 2x2+2xy+y2=1 在矩陣 A=（ ）（ a＞ 0）對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為 x2+y2=1． （ Ⅰ ）求實(shí)數(shù) a， b 的值． （ Ⅱ ）求 A2 的逆矩陣． 考點(diǎn) ： 逆變換與逆矩陣；幾種特殊的矩陣變換。 專題 ： 計(jì)算題。 分析： （ Ⅰ ）確定點(diǎn)在矩陣 A=（ ）（ a＞ 0）對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用變換前后的方程，即可求得矩陣 A； （ Ⅱ ）先計(jì)算 A2 的值，求出行 列式的值，即可得到 A2 的逆矩陣． 解答： 解：（ Ⅰ ）設(shè)曲線 2x2+2xy+y2=1 上的點(diǎn)（ x， y）在矩陣 A=（ ）（ a＞ 0）對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)（ x′， y′） 則（ ） = ， ∴ ∵ x′2+y′2=1 ∴ （ ax） 2+（ bx+y） 2=1 ∴ （ a2+b2） x2+2bxy+y2=1 ∵ 2x2+2xy+y2=1 ∴ a2+b2=2， 2b=2 ∴ a=1， b=1 ∴ A=（ ） （ Ⅱ ） A2=（ ）（ ） =（ ）， =1 ∴ A2的逆矩陣為 點(diǎn)評(píng)： 本題考查矩陣與變換，考查逆矩陣的求法，確定變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系是解 題的關(guān)鍵． 22．（ 2022?福建）選修 4﹣ 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線 l 上兩點(diǎn) M， N 的極坐標(biāo)分別為（ 2， 0），（ ），圓 C 的參數(shù)方程 （ θ為參數(shù)）． （ Ⅰ ）設(shè) P 為線段 MN 的中點(diǎn)，求直線 OP 的平面直角坐標(biāo)方程； （ Ⅱ ）判斷直線 l 與圓 C 的位置關(guān)系． 考點(diǎn) ： 圓的參數(shù)方程；直線與圓的位置關(guān)系；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程。 專題 ： 計(jì)算題。 分析： （ Ⅰ ）設(shè) P 為線段 MN 的中點(diǎn)，求直線 OP 的平面直角坐標(biāo)方程； （ Ⅱ ）求出圓的圓心與半徑， 判斷圓心與直線的距離與半徑的關(guān)系，即可判斷直線 l 與圓 C 的位置關(guān)系． 解答： 解：（ Ⅰ ） M， N 的極坐標(biāo)分別為（ 2， 0），（ ）， 所以 M、 N 的直角坐標(biāo)分別為： M（ 2， 0）， N（ 0， ）， P 為線段 MN 的中點(diǎn)（ 1， ）， 直線 OP 的平面直角坐標(biāo)方程 y= ； （ Ⅱ ）圓 C 的參數(shù)方程 （ θ為參數(shù)）．它的直角坐標(biāo)方程為：（ x﹣ 2） 2+（ y+ ） 2=4， 圓的圓心坐標(biāo)為（ 2，﹣ ），半徑為 2， 圓心到直線的距離為： = ＞ 2，所以，直線 l 與圓 C 相離． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查圓的參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直線與 圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力． 23．（ 2022?福建）選修 4﹣ 5：不等式選講 已知函數(shù) f（ x） =m﹣ |x﹣ 2|， m∈ R，且 f（ x+2） ≥0 的解集為 [﹣ 1， 1]． （ Ⅰ ）求 m 的值； （ Ⅱ ）若 a， b， c∈ R，且 ，求證： a+2b+3c≥9． 考點(diǎn) ： 帶絕對(duì)值的函數(shù)；不等式的證明。 專題 ： 計(jì)算題。 分析： （ Ⅰ ）由條件可得 f（ x+2） =m﹣ |x|，故有 m﹣ |x|≥0 的解集為 [﹣ 1， 1]，即 |x|≤m 的解集為 [﹣ 1， 1]，故 m=1． （ Ⅱ ）根據(jù) a+2b+3c=（ a+2b+3c）（ ） =1+ + + +1+ + + +1，利用基本不等式證明它大于或等于 9． 解答： 解：（ Ⅰ ）函數(shù) f（ x） =m﹣ |x﹣ 2|， m∈ R，故 f（ x+2） =m﹣ |x|，由題意可得 m﹣ |x|≥0 的解集為 [﹣ 1， 1]， 即 |x|≤m 的解集為 [﹣ 1， 1]，故 m=1． （ Ⅱ ）由 a， b， c∈ R，且 =1， ∴ a+2b+3c=（ a+2b+3c）（ ） =1+ + + +1+ + + +1 =3+ + + + + + ≥3+6=9，當(dāng)且僅當(dāng) = = = = = =1 時(shí)，等號(hào)成立． 所以 a+2b+3c≥9 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查帶有絕對(duì) 值的函數(shù)的值域，基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．