【正文】 等于另外兩條線段的乘積（可能有兩條是同一條）。或者給出線段的比值等于線段比值，基本上是相似問題，因為圓周角太容易相等了。如果出現(xiàn)的是乘積形式，就寫比值形式，看他們 處于那兩個三角形中，這個就是解題思路，一般而言，呼市相似題目還沒有出到需要倒騰線段或進行線段加減后才能參與相似線段比的運算。 先看哪些線段的比， BDPD = FDED = CDAD，還有哪些新的已知條件，這些已知條件的加入能推導(dǎo)出什么結(jié)論，哪些結(jié)論對證明相似有利。 M 為 BC⌒ 的中點，什么意思？垂徑定理，還是等弧對著的圓周角相等？不知道，的做法是兩個結(jié)論都標(biāo)到圖上，然后裝在心里，呵呵，不是埋在心底，那太 深了，一會提不出來。 等弧對著等角，但好像我們用不上這兩個三角形，看看垂徑定理。在《考前重點突破》講過，兩個等弦或兩個等弧共一點，八成用垂徑定理，沒錯，是八成，就是 80%。如果沒有從共點出發(fā)的直徑，你一定給他搞一條，看看會有什么突破方向。本題，直徑已經(jīng)存在，就是AM，垂徑定理及其推論，你因該會。在圖上早就標(biāo)了垂足 H。你先前已經(jīng)證得 AM⊥ AP，根據(jù)垂徑定理的推論，唾手可得 AM⊥ BC，則兩條直線同時垂直一條直線，則兩條直線是平行，常說有平行出內(nèi)錯。在《考前重點突破中》中，如果在幾何題中有平行， 85%的情況是用內(nèi) 錯角， 10%的情況用同位角， 5%是同旁內(nèi)角，千萬別瞧不起 5%這個，有時候你在以算角為主的幾何題中還真的不好繞過他。 不管他是 ∠ 1 和 ∠ 3 的內(nèi)錯，還是 ∠ PAC 和 ∠ BCA 的內(nèi)錯，足以使 △ BDC 和 △ PDA 相似，相似的目的只有一個，就是對應(yīng)邊長度比例相同，則有BDPD = CDAD。其實這道題目這個結(jié)論有點小損，應(yīng)該把CDAD寫在中間，我想出卷人故意寫到最后的，這樣會有些小思考，所以你需要更大的視野，尤其在圓的題目中。 你的眼界有多大，世界就有多大！其 實我們老百姓都是井底之蛙，只是井口大小不一樣而已，但我們只要經(jīng)營得好，照樣是我們的一片天，一片地！ ——曾剛 哎，又拽文采、哲理了。其實就是想把數(shù)學(xué)教好，這就是的天，的地，你們的天和地呢？ ∠ 1=∠ 2 這個條件還沒有用上，先看看FDED = CDAD涉及到的線段所在哪些成對的三角形中，如果你看不出來，也沒辦法，還是有的：重新畫圖后用紅色筆將這個四根線段著重描一描，起碼先看出個對頂角吧。 好吧，先認(rèn)為你能看出來，連接 AE。不用說如果 △ ADE 和 △ CDB 不相似，你倔死也寫不 出來FDED = CDAD。已經(jīng)有對頂角了，再找一對角，我們先看下 ∠ AED 和 ∠ CFD， ∠ CFD 不再圓周上，不好倒騰，先棄之！再看 ∠ 4 和 ∠ 2，離得比較遠，好在兩個角都在圓周上，能倒騰！∠ 2=∠ 1，那么 ∠ 1 等于什么？平行出內(nèi)錯呀，你找不到 ∠ 1 的同位角和同旁內(nèi)角，所以∠ 1=∠ 3，那么再看 ∠ 3 是否能與 ∠ 4 相等，一看，這個兩個圓周角共弦，但圖上沒有連接EC，那我們是否需要把 EC 連接上呢？不用，這個兩個圓周角共 。 證明： (1) 連接 MC。 ∵ AM 為 ⊙ O 直徑 ∴∠ ACM=90176。 ∴∠ AMC+∠ MAC =90176。 又 ∵∠ AMC=∠ ABC ∴∠ ABC+∠ MAC=90176。 又 ∵∠ ABC=∠ PAC ∴∠ PAC+∠ MAC=90176。 ∴∠ PAM=90176。,即 MA⊥ AP ∴ AP 為 ⊙ O 的切線 . (2)連接 AE. ∵ M 為 BC⌒ 中點， AM 為 ⊙ O 的直徑 ∴ AM⊥ BC ABOFDEPCM又 ∵ AM⊥ AP ∴ AP∥ BC ∴△ ADP∽△ CDB （這里，用的是兩條直線被一組平斜線所截，所得對應(yīng)線段成比例，更 為樸素、本質(zhì)） ∴BDPD = CD AD . ∵ AP//BC ∴∠ CBE =∠ P 又 ∵∠ CBE=∠ CAE ∴∠ P=∠ CAE 又 ∵∠ P=∠ DCF ∴∠ DCF=∠ CAE ∵∠ ADE=∠ CDF ∴△ ADE∽△ CDF ∴FDED = CDAD . 綜上，可證得：BDPD = FDED = CDAD. 10．（ 2022?廣東廣州 ,第 23 題 12 分）如圖， AC 是 ⊙ O 的直徑，點 B 在 ⊙ O 上， ∠ ACB=30176。 （ 1）利用尺規(guī)作 ∠ ABC 的平分線 BD，交 AC 于點 E，交 ⊙ O 于點 D，連接 CD（保留作圖痕跡，不寫作法） （ 2）在（ 1）所作的圖形中，求 △ ABE 與 △ CDE 的面積之比． 考點： 作圖 —復(fù)雜作圖；圓周角定理． 分析： （ 1） ① 以點 B 為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交角 ABC 兩邊于點 M， N； ②分別以點 M， N 為圓心，以大于 MN 的長度為半徑畫弧，兩弧交于一點； ③ 作射線 BE 交ABOFDEPCMAC 與 E，交 ⊙ O 于點 D，則線段 BD 為 △ ABC 的角平分線； （ 2）連接 OD，設(shè) ⊙ O 的半徑為 r，證得 △ ABE∽△ DCE，在 Rt△ ACB 中， ∠ ABC=90176。，∠ ACB=30176。，得到 AB= AC=r，推出 △ ADC 是等腰直角三角形，在 Rt△ ODC 中，求得DC= = r，于是問題可得． 解答： （ 1）如圖所示； （ 2）如圖 2，連接 OD，設(shè) ⊙ O 的半徑為 r， ∵∠ BAE=∠ CDE， ∠ AEB=∠ DEC， ∴△ ABE∽△ DCE， 在 Rt△ ACB 中， ∠ ABC=90176。， ∠ ACB=30176。， ∴ AB= AC=r， ∵∠ ABD=∠ ACD=45176。， ∵ OD=OC， ∴∠ ABD=∠ ACD=45176。， ∴∠ DOC=90176。， 在 Rt△ ODC 中， DC= = r， ∴ = = = ． 點評： 本題主要考查基本作圖，圓周角定理，勾股定理，作一個角的平分線，牢記一些基本作圖是解答本題的關(guān)鍵． 11．（ 2022?廣東佛山 ,第 23 題 8 分）如圖， ⊙ O 的內(nèi)接四邊形 ABCD 兩組對邊的延長線分別交于點 E、 F． （ 1）若 ∠ E=∠ F 時，求證： ∠ ADC=∠ ABC； （ 2）若 ∠ E=∠ F=42176。時，求 ∠ A 的度數(shù)； （ 3）若 ∠ E=α， ∠ F=β，且 α≠β．請你用含有 α、 β的代數(shù)式表示 ∠ A 的大?。? 考點： 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理． 分析： （ 1）根 據(jù)外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論； （ 2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等量代換即可求得結(jié)果； （ 3）連結(jié) EF，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得 ∠ ECD=∠ A，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ ECD=∠ 1+∠ 2，則 ∠ A=∠ 1+∠ 2，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有∠ A+∠ 1+∠ 2+∠ E+∠ F=180176。，即 2∠ A+α+β=180176。，再解方程即可． 解答： 解：（ 1） ∠ E=∠ F， ∵∠ DCE=∠ BCF， ∴∠ ADC=∠ E+∠ DCE， ∠ ABC=∠ F+∠ BCF， ∴∠ ADC=∠ ABC； （ 2）由（ 1）知 ∠ ADC=∠ ABC， ∵∠ EDC=∠ ABC， ∴∠ EDC=∠ ADC， ∴∠ ADC=90176。， ∴∠ A=90176。﹣ 42176。=48176。； （ 3）連結(jié) EF，如圖， ∵ 四邊形 ABCD 為圓的內(nèi)接四邊形， ∴∠ ECD=∠ A， ∵∠ ECD=∠ 1+∠ 2， ∴∠ A=∠ 1+∠ 2， ∵∠ A+∠ 1+∠ 2+∠ E+∠ F=180176。， ∴ 2∠ A+α+β=180176。， ∴∠ A=90176。﹣ ． 點評： 本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補． 12. （ 2022 山東省德州市， 21， 10 分）如圖， ⊙ O 的半徑為 1， A， P， B， C 是 ⊙ O 上的四個點 . ∠ APC=∠ CPB=60176。. (1)判斷 △ ABC 的形狀： ； (2)試探究線段 PA， PB， PC 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (3)當(dāng)點 P 位于的什么位置時，四邊形 APBC 的面積最大？求出最大面積 . 【答案】（ 1）等邊三角形；（ 2）（ 2） PA +PB=PC.（ 3） 理由如下：如圖 2，過點 P 作 PE⊥ AB，垂足為 E， 考點：圓周角定理；圓的有關(guān)性質(zhì)；全等三角形的判定 …… 依 次順延 13（ 2022 威海 ,第 22 題 9 分） 如圖，在 △ ABC 中， AB=AC，以 AC 為直徑的 ⊙ O 交 AB 于點 D，交 BC 于點 E． （ 1）求證： BE=CE； （ 2）若 BD=2， BE=3，求 AC 的長． 考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理． . 專題： 證明題． 分析： （ 1）連結(jié) AE，如圖，根據(jù)圓周角定理，由 AC 為 ⊙ O 的直徑得到 ∠ AEC=90176。，然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到 BE=CE； （ 2）連結(jié) DE，如圖，證明 △ BED∽△ BAC，然后利用相似比可計算出 AB 的長，從而得到 AC 的 長． 解答： （ 1）證明：連結(jié) AE，如圖， ∵ AC 為 ⊙ O 的直徑， ∴∠ AEC=90176。， ∴ AE⊥ BC， 而 AB=AC， ∴ BE=CE； （ 2）連結(jié) DE，如圖， ∵ BE=CE=3， ∴ BC=6， ∵∠ BED=∠ BAC， 而 ∠ DBE=∠ CBA， ∴△ BED∽△ BAC， ∴ = ，即 = ， ∴ BA=9， ∴ AC=BA=9． 點評： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造 相似三角形．也考查了角平分線的性質(zhì)和圓周角定理．