[理學]d3_4單調(diào)性與極值-資料下載頁
2024-12-08 00:44本頁面
【正文】 ( ) ( , ) .f x a b x a bf x f x a bf x f x a b???? ??? ?如 果 在 內(nèi) 二 階 可 導當 則 在 上 的 圖 形 是 上 凹 的當 則 在 上 的 圖 形 是 上 凸 的例 1 .3 的凹凸性判斷曲線 xy ?解 ,3 2xy ??? ,6 xy ???時，當 0?x ,0???y0( , ]? ??曲 線 在 為 凸 的 ；時，當 0?x ,0???y 0[ , )? ??曲 線 在 為 凹 的 ；.)0,0( 點是曲線由凸變凹的分界點注意到 , 八、曲線拐點的判定及其求法 定理 4 000( ) ( , ) , ,f x U x x?設 函 數(shù) 在 內(nèi) 二 階 可 導 在 連 續(xù)000( ) , ( ) ,f x f x?? ??? 或 不 存 在 則0 0 0( ) , ( , ( ) )f x x x f x??(1) 如 果 在 兩 側 異 號 則 點 是 拐 點 ；0 0 0( ) , ( , ( ) )f x x x f x??(2) 如 果 在 兩 側 同 號 則 點 不 是 拐 點 ；注 :拐點的與二階導數(shù)的關系 :則00( , ( ) )x f x如 果 點 是 拐 點 ,0 0( ) ,fx?? ? 0( ) .fx??或 不 存 在例 2 433 4 1y x x? ? ?求 曲 線 的 凹 向 及 拐 點 .解 ),(: ????D?,1212 23 xxy ??? ).32(36 ???? xxy,0???y令 .32,0 21 ?? xx得x )0,(?? ),32( ??)32,0(0 32)(xf ??)(xf? ? ?0 0凹 凸 凹 拐點 拐點 )1,0( )2711,32(220223( , ] , [ , ) 。 [ , ] .? ? ? ? ?凹 區(qū) 間 為 凸 區(qū) 間 為例 3 .3 的拐點求曲線 xy ?解 ,0時當 ?x ,31 32??? xy 533 52 2 199yxx??? ? ? ?=.,0 均不存在是不可導點 yyx ????.)0,0( 3 的拐點是曲線點 xy ??x )0,(?? (0 , )?＋0)(xf ??)(xf? ?不 存 在凹 凸 拐點 00( , )例 4 .xy xe ??求 曲 線 的 凹 凸 區(qū) 間 拐 點解 ,DR?定 義 域 1( ) ,x x xy e xe x e? ? ?? ? ? ? ?2( ) ,xy x e ??? ?? 02,yx?? ??令 得 ，222( , )e ?? 點 是 拐 點 ，x 2( , )?? ( 2 , )?＋2)(xf ??)(xf? ?0凸 凹 拐點 222( , )e?列 表 如 下 ：22( , ] , 。 [ , ] .? ? ? ? ?凸 區(qū) 間 為 凹 區(qū) 間 為例 5. 解 : 34 ,yx? ?故曲線 xyo說明 : 1) 若在某點二階導數(shù)為 0 , 則曲線的凹凸性不變 . 在其兩側二階導數(shù)不變號 , 2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理 , 可得拐點的判別法如下 : 或不存在 , ( ) ,fx??但 在 點 兩 側 異 號則點 00( , ( ) ) ( ) .x f x y f x?是 曲 線 的 一 個 拐 點一、 填空題： 1 、 若函數(shù))( xfy ?在（ba ,）可導，則曲線)( xf在(ba ,) 內(nèi)上凹的充要條件是 _____ _______. 2 、 曲線上 ___ _________ ___ _ 的點，稱作曲線的拐點 . 3 、 曲線)1l n (2xy ??的拐點為 __________. 4 、 曲線)1l n ( xy ??拐點為 _____ 練 習 題 ( , ) , ( ) 0x a b f x????上凸與下凹的分界 ( 1 , l n 2) , (1 , l n 2)?無拐點 內(nèi)容小結 Ixxf ???? ,0)(Ixxf ???? ,0)(+ – 拐點 — 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點 練習 ]1,0[ 上 ,0)( ??? xf 則 ,)1(,)0( ff ?? )0()1( ff ?或 )1()0( ff ? 的大小順序是 ( ) )0()1()0()1()( ffffA ?????)0()0()1()1()( ffffB ?????)0()1()0()1()( ffffC ?????)0()1()0()1()( ffffD ?????提示 : 利用 )(xf? 單調(diào)增加 , )10()()0()1( ????? ??fff及 B 1. 設在 。 。 . 12( , )??1212 1( , )e???2. 曲線 21 xey ??? 的凹區(qū)間是 凸區(qū)間是 拐點為 提示 : 2 22 1 2()xy e x??? ??1122( , )?12( , )???及 112 ???xxy 有位于一直線的三個拐點 . 3. 求證曲線 證明 ： ??y???y222)1(21????xxx3223)1()133(2?????xxxx32 )1()32)(32)(1(2???????xxxxxxx 2)1()1( 2 ???22 )1( ?x42 )1( ?x)22( x?? 22 )1( ?x )21( 2xx ??? )1(2 2 ?? x x2?令 0???y 得 ,11 ?x,)1,1(從而三個拐點為 因為 32 ??所以三個拐點共線 . 323 ???x ,22 ???x,)348 31,32( ? ???? )348 31,32( ? ????32 ??1?1?348 31??? 1?1?348 31????32 )1()32)(32)(1(2???????xxxxy
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