[理學(xué)]d3_4單調(diào)性與極值(已修改)
2024-12-20 00:44 本頁(yè)面
【正文】 第四節(jié) 一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 二、極大值與極小值 函數(shù)的單調(diào)性與極值 二、最大值與最小值 一、單調(diào)性的判定 xyo)( xfy ?xyo)( xfy ?a bAB0()fx? ? 0()fx? ?定理 1 ( ) .y f x I?設(shè) 函 數(shù) 在 區(qū) 間 內(nèi) 可 導(dǎo)a bBA10( ) ( ) , ( )f x y f x I? ??如 果 則 函 數(shù) 在 區(qū) 間 內(nèi) 單 調(diào) 增 加 ；20( ) ( ) , ( )f x y f x I? ??如 果 則 函 數(shù) 在 區(qū) 間 內(nèi) 單 調(diào) 減 少 ；證 12,x x I??,21 xx ?且 應(yīng)用拉氏定理 ,得 2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x x x???? ? ? ? ?,012 ?? xx?0( ) ,I f x? ?若 在 內(nèi) ， ,0)( ?? ?f則).()( 12 xfxf ?? ( ) .y f x I?? 在 上 單 調(diào) 增 加0( ) ,I f x? ?若 在 內(nèi) ， ,0)( ?? ?f則).()( 12 xfxf ?? ( ) .y f x I?? 在 上 單 調(diào) 減 少120, ( )) ( )x I f xf x f x????已 知要 證 （例 1 解 1 .xy e x? ? ?討 論 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性.1??? xey?,)0,( 內(nèi)在 ?? ,0??y函數(shù)單調(diào)減少；?,),0( 內(nèi)在 ?? ,0??y .函數(shù)單調(diào)增加?注意 :函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而 不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性 ． ( , ) .D ? ?? ??又0y?令 ＝ 0x?? 1???xey1??? xey x例 2 討論函數(shù) f (x) = x－ sinx在 [0, 2?]上的單調(diào)性 . 解 因?yàn)樵?(0, 2?)內(nèi)有 10( ) c osf x x? ? ? ?所以函數(shù) f (x) = x－ sinx 在 [0, 2?]上是單調(diào)增加的 . 一般講， 在定義域內(nèi)未必單調(diào) ,但可用適當(dāng) ()fx在每 一個(gè)區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù) . 的一些點(diǎn)把定義域分為若干個(gè)區(qū)間，便得 ()fx導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)． 二、單調(diào)區(qū)間求法 問題 :如例 1，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)． 定義 :若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的 單調(diào)區(qū)間 . 0( ) ( )( ) ,.f x f xfx???用 方 程 的 根 及 不 存 在 的 點(diǎn)來 劃 分 函 數(shù) 的 定 義 區(qū) 間 然 后 判 斷 各 個(gè) 區(qū)間 內(nèi) 導(dǎo) 數(shù) 的 符 號(hào)方法 : 例 3 解 .31292)( 23的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)????xxxxf).,(: ????D?12186)( 2 ???? xxxf )2)(1(6 ??? x得，解方程 0)( ?? xf .2,1 21 ?? xx時(shí)，當(dāng) 1???? x ,0)( ??f 上單調(diào)增加；在 ]1,( ???時(shí)，當(dāng) 21 ?? x ,0)( ?? xf 上單調(diào)減少；在 ]2,1[?時(shí)，當(dāng) ???? x2 ,0)( ?? xf 上單調(diào)增加；在 ),2[ ???單調(diào)區(qū)間為 ，]1,(?? ，]2,1[ ).,2[ ??例 4 解 .)( 3 2 的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù) xxf ?).,(: ????D?)0(,3 2)( 3 ??? xxxf.,0 導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)當(dāng) ?x時(shí)，當(dāng) 0???? x,0)( ?? xf 0[ , )? ? ?在 上 單 調(diào) 增 加 ；時(shí)，當(dāng) ???? x0,0)( ?? xf 0( , ]? ? ?在 上 單 調(diào) 減 少 ；單調(diào)區(qū)間為 0( , ]?? ，0[ , ).??3 2xy ?注意 : 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外 ,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) . 證 時(shí)，當(dāng) 0?? x ,0)1l n( ??? xx ).1l n ( xx ??即注意 :區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零 ,不影響區(qū)間的單調(diào)性 . 例如 , ,3xy ? ,00 ?? ?xy .),( 上單調(diào)增加但在 ????23 .yx? ?即( , 0) ( 0 , ) , ?? ?? ? ?? ?在00( , ) ( , ) .? ? ? ? ? ?在 單 調(diào) 增 加例 5 .)1l n (,0 成立試證時(shí)當(dāng) xxx ???1( ) ln ( ) ,f x x x? ? ?設(shè) .1)( xxxf???則,0)(),0(,),0[)( ?????? xfxf 可導(dǎo)，且上連續(xù)在?0 0 0( ) ( ) , .f x f x? ? ?即0[ , )? ? ?在 上 單 調(diào) 增 加 ，例 6 證 2111(), ln .xxxx????當(dāng) 時(shí) 試 證 成 立211()( ) ln ,xf x xx????設(shè) 則21 2 1 2 11( ) ( )()()xxfxxx? ? ?? ???2211()()xxx???01( ) .x??1x??當(dāng) 時(shí) ，1x ?即 當(dāng) 時(shí) ，21 101()( ) ln ( ) ,xf x x fx?? ? ? ??即1( ) [ , )fx? ? ?在 上 單 調(diào) 增 加 ，10( ) ,f ?又211()ln .xxx???例 7 證明 時(shí) , 成立不等式 證 : 令 2sin( ) ,xfx x?? ?2c o s sin() x x xfxx??? ?2c os ( t an )x xxx??1xtanx0?從而 因此 且 證 練 習(xí) 題 一、 填空題： 1 、 函數(shù) 71862 23 ???? xxxy 單調(diào)區(qū)間為 ____ __ _________ ____. 2 、 函數(shù)212xxy?? 在區(qū)間 [ 1,1] 上單調(diào) ________ ， 在 _________ ______ 上單調(diào)減 少 . 3 、函數(shù) 22 ln xxy ?? 的單調(diào)
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