向量組的線性相關(guān)性-資料下載頁
2024-10-19 13:28本頁面
【正文】 乘數(shù)維向量維向量之和仍然是因為任意兩個?. 間，也是一個向量空維向量的全體類似地， nRn例 2 判別下列集合是否為向量空間 . ? ?? ?RxxxxxV nTn ??? ,,0 221 ??解 .V 是向量空間1的任意兩個元素因為對于 1V ? ? ? ? TnTn bbaa ,0,0 22 ?? ?? ?? ,V1?? ? 122 ,0 Vbaba Tnn ????? ??? 有? ? .,0 12 Vaa Tn ?? ???? ?例 3 判別下列集合是否為向量空間 . ? ?? ?RxxxxxV nTn ??? ,,1 222 ??解 ? ? .2,2,22 22 Vaa Tn ?? ??則.V 不是向量空間2? ? ,1 22 Vaa Tn ?? ??因為若維向量，集合 為兩個已知的 設(shè) n b a , 例 4 ? ?RbaxV ???? ???? ,試判斷集合是否為向量空間 . baxV 111. ?? ??因為若是一個向量空間解，bax 222 ?? ?? 則有,)()( 212121 Vbaxx ?????? ????.)()( 111 Vbkakkx ??? ??., 間所生成的向量空量這個向量空間稱為由向 ba? ?RaaaxV mmm ?????? ?????? , 212211 ??間所生成的向量空由向量組 maaa , 21 ?一般地， 為 ? ? ? ? . , , , , , , , , , 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 V V R b b b x V R a a a x V b b a a s s s m m m s m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 試證： 記 等價， 與向量組 設(shè)向量組 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 5., 11 線性表示可由，則設(shè) maaxVx ??證,: 12 VxVx ?? 則若類似地可證.211221 VVVVVV ??? ，所以，因為線性表示，可由線性表示，故可由因ssmbbxbbaa ,, 111 ???.2Vx ?所以，則這就是說，若 21 VxVx ??.21 VV ?因此.12 VV ?因此。,)1( 21 線性無關(guān)r??? ?.,2)( 21 線性表示中任一向量都可由 rV ??? ?那末，向量組 就稱為向量 的一個 r, ??? ?21 V基 ， 稱為向量空間 的維數(shù) ， 并稱 為 維向量 空間 ． Vr V r三、向量空間的基與維數(shù) 定義 2 設(shè) 是向量空間，如果 個向量 ，且滿足 r , 21 ??VVr ??,?? ?R,xV rrr ?????? ???????? ?? 12211 （ 1）只含有零向量的向量空間稱為 0維向量空間，因此它沒有基． 說明 （ 3）若向量組 是向量空間 的一 個基，則 可表示為 r, ??? ?21VV （ 2）若把向量空間 看作向量組，那末 的基 就是向量組的最大無關(guān)組 , 的維數(shù)就是向量組的 秩 . V VV,221212122),( 321??????????????? aaaA,243041),( 21????????????? bbB., 213321線性表示用這個基的一個基，并把是驗證 bbRaaa設(shè)矩陣 例 6 .~, 3213321EAaaaRaaa線性無關(guān)，即只要證的一個基，只要證是要證解，設(shè)33222211223312211111 ,axaxaxbaxaxaxb?????? ,),(),(32312221121132121???????????xxxxxxaaabb即.AXB ?記作.,)( 13321BAXBEARaaaEABA??變?yōu)闀r，變?yōu)榈囊粋€基，且當(dāng)為則，能變?yōu)槭┬谐醯刃凶儞Q，若對矩陣 ????????????????242213021241122)( BA ???????????????242213021231111)(31 321 rrr ??~??????????????553303203031111??????????????242213021231111)(31 321 rrr ??~1312 2rrrr??~???????????????????353511013201031111)3(2 ??r33 ?r ~??????????????5533032030311111312 2rrrr??~??????????????????3211001320103432001???????????????????353511013201031111)3(2 ??r33 ?r ~31 rr ?23 rr ?~的一個基，且為，故因有 3321 ,~ RaaaEA? ? .3211323432),(,32121??????????????????? aaabb??????????????????3211001320103432001) ( ~初等行變換B
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