【正文】 : ).,(,0210211201001121214321Rccccxxxx??????????????????????????????????????????????于是所求通解為 : 在對應的齊次線性方程組 中 , ??? ? ??434212 xxxxx一、向量空間的概念 說明 ., VRV ??? ???? 則若2． 維向量的集合是一個向量空間 ,記作 . n nR。 例 ： 設 齊 次 線性 方程組 1 2 3 41 2 41 2 3 42 2 0305 7 0x x x xx x xx x x x? ? ? ???? ? ???? ? ? ?? 的 全 體 解 向 量 構成 的 向 量 組 為S， 求S的 秩 。 312131521 2 31 0 2 1 0 2 1 0 2( , , ) 1 2 4 ~ 0 2 2 ~ 0 2 21 5 7 0 5 5 0 0 0rrrrrr???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?a a a 可見1 2 3( , , ) 2R ?a a a, 故向量組1 2 3,a a a線性相關；同時可見12( , ) 2R ?aa故向量組12,aa線性無關。第四 章 向量組的線性相關性 167。 定理 5 ： （ 1 ）若向量組12: , , , mA a a a線性相關，則向量組1 2 1: , , , ,mmB ?a a a a也線性相關。 解 ： 先 解 方程 ， 為 此 把 系數(shù) 矩陣 A 化成行最 簡形： 1232213 1 2232( 1 )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 3 0 1 ~ 0 1 2 3 ~ 0 1 2 31 1 5 7 0 3 6 9 0 0 0 0rrrrrrr r r???? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?A 得 1 3 42 3 43423x x xx x x????? ? ?? 令自由未知數(shù)31xc?，42xc?， 得通 解 12123434231001xxccxx??? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? 把上式記作1 1 2 2cc????x，知 1 1 2 2 1 1{ , }S c c c c??? ? ? ?x 即S能由向量組1?，2?線性表示。, bl ) = (0, 0, , VVV ???? ???? 則若1．集合 對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉指 V第五節(jié) 向量空間 定義 1 設 為 維向量的集合，如果集合 非空， 且集合 對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱 集合 為向量空間． nVVVV. , 3 3 是一個向量空間 維向量的全體 R 例 1 .33,33 3R維向量，它們都屬于維向量仍然是乘數(shù)維向量維向量之和仍然是因為任意兩個?. 間，也是一個向量空維向量的全體類似地， nRn例 2 判別下列集合是否為向量空間 . ? ?? ?RxxxxxV nTn ??? ,0 221 ??解 .V 是向量空間1的任意兩個元素因為對于 1V ? ? ? ? TnTn bbaa ,0,0 22 ?? ?? ?? ,V1?? ? 122 ,0 Vbaba Tnn ????? ??? 有? ? .,0 12 Vaa Tn ?? ???? ?例 3 判別下列集合是否為向量空間 . ? ?? ?RxxxxxV nTn ??? ,1 222 ??解 ? ? .2,2,22 22 Vaa Tn ?? ??則.V 不是向量空間2? ? ,1 22 Vaa Tn ?? ??因為若維向量，集合 為兩個已知的 設 n b a , 例 4 ? ?RbaxV ???? ???? ,試判斷集合是否為向量空間 . baxV 111. ?? ??因為若是一個向量空間解，bax 222 ?? ?? 則有,)()( 212121 Vbaxx ?????? ????.)()( 111 Vbkakkx ??? ??., 間所生成的向量空量這個向量空間稱為由向 ba? ?RaaaxV mmm ?????? ?????? , 212211 ??間所生成的向量空由向量組 maaa , 21 ?一般地， 為 ? ? ? ? . , , , , , , , , , 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 V V R b b b x V R a a a x V b b a a s s s m m m s m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 試證： 記 等價， 與向量組 設向量組 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 5., 11 線性表示可由，則設 maaxVx ??證,: 12 VxVx ?? 則若類似地可證.211221 VVVVVV ??? ，所以，因為線性表示，可由線性表示，故可由因ssmbbxbbaa , 111 ???.2Vx ?所以，則這就是說，若 21 VxVx ??.21 VV ?因此.12 VV ?因此。因此根據(jù)最大無關組的等價定義知1?，2?是S的最大無關組，從而2SR ?. 定理 39。 （ 2 ）m個n維向量組成的向量組，當維數(shù)n小于向量個數(shù)m時一定線性相關。分量全為實數(shù)的向量稱為 實向 量 ，分量全為復數(shù)的向量稱為 復向量 。 定理 4 ： 向量組12, , , ma a a線性相關的充分必要條