向量組的線性相關(guān)性-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 方程組 Ax = b 有解的充分必要條件為系數(shù)矩陣 A與增廣矩陣 B=(A | b)的秩相等 , 且當(dāng) R(A)=R(B)=n時(shí)有唯一解 。, ?t為齊次線性方程組 Ax = 0的基礎(chǔ)解系 , 如果 (1) ?1, ?2, (2) Ax = 0的任一解都可由 ?1, ?2, , kt為任意常數(shù) . 設(shè)齊次線性方程組 Ax = 0的系數(shù)矩陣 A的前 r 個(gè)列向量線性無(wú)關(guān) , 于是 A可化為 : ??????????????????000000001001~ ,1,111????????????????????rnrrrnbbbbA即有方程組 .,11,11111?????????????????nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx????????(1) .100,010,00121????????????????????????????????????????????????nrrxxx現(xiàn)對(duì) ( xr+1, , bl ), 則 AB = A(b1, b2, ,bl )? n–R(A). R(A)+R(B)? n. 性質(zhì)知 : 方程組 Ax=0的解向量組的秩為 n–R(A), 由齊次線性方程組解的 因此 , 故 三、非齊次線性方程組的解 證明 : 因?yàn)? A?1=b, A?2=b, (1) 設(shè) x=?1 及 x=?2 都是方程組 Ax=b 的解 , 則 x=?1–?2為對(duì)應(yīng)齊次方程組 Ax=0的解 . 所以 A(?1–?2) = A?1–A?2 = b – b = 0. 故 , x=?1–?2為對(duì)應(yīng)齊次方程組 Ax=0的解 . (2) 設(shè) x=? 是方程組 Ax=b 的解 , x=? 是方程組 Ax=0 的解 , 則 x=?+? 仍 為方程組 Ax=b 的解 . 證明 : 因?yàn)? A?=b, A?=0, 所以 A(?+?) = A? +A? = 0 + b = b. 故 , x=?+? 為方程組 Ax=b 的解 . 其中 k1?1+k2?2+,)1( 21 線性無(wú)關(guān)r??? ?.,2)( 21 線性表示中任一向量都可由 rV ??? ?那末，向量組 就稱為向量 的一個(gè) r, ??? ?21 V基 ， 稱為向量空間 的維數(shù) ， 并稱 為 維向量 空間 ． Vr V r三、向量空間的基與維數(shù) 定義 2 設(shè) 是向量空間，如果 個(gè)向量 ，且滿足 r , 21 ??VVr ??,?? ?R,xV rrr ?????? ???????? ?? 12211 （ 1）只含有零向量的向量空間稱為 0維向量空間，因此它沒(méi)有基． 說(shuō)明 （ 3）若向量組 是向量空間 的一 個(gè)基，則 可表示為 r, ??? ?21VV （ 2）若把向量空間 看作向量組，那末 的基 就是向量組的最大無(wú)關(guān)組 , 的維數(shù)就是向量組的 秩 . V VV,221212122),( 321??????????????? aaaA,243041),( 21????????????? bbB., 213321線性表示用這個(gè)基的一個(gè)基，并把是驗(yàn)證 bbRaaa設(shè)矩陣 例 6 .~, 3213321EAaaaRaaa線性無(wú)關(guān)，即只要證的一個(gè)基，只要證是要證解，設(shè)33222211223312211111 ,axaxaxbaxaxaxb?????? ,),(),(32312221121132121???????????xxxxxxaaabb即.AXB ?記作.,)( 13321BAXBEARaaaEABA??變?yōu)闀r(shí)，變?yōu)榈囊粋€(gè)基，且當(dāng)為則，能變?yōu)槭┬谐醯刃凶儞Q，若對(duì)矩陣 ????????????????242213021241122)( BA ???????????????242213021231111)(31 321 rrr ??~??????????????553303203031111??????????????242213021231111)(31 321 rrr ??~1312 2rrrr??~???????????????????353511013201031111)3(2 ??r33 ?r ~??????????????5533032030311111312 2rrrr??~??????????????????3211001320103432001???????????????????353511013201031111)3(2 ??r33 ?r ~31 rr ?23 rr ?~的一個(gè)基，且為，故因有 3321 ,~ RaaaEA? ? .3211323432),(,32121??????????????????? aaabb??????????????????3211001320103432001) ( ~初等行變換B
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