向量組的線性相關(guān)性-文庫吧資料
2024-10-25 13:28本頁面
【正文】 nrrnrnrnbbb? + kt?t 其中 k1, k2, , ?t 線性表出 . 如果向量組 ?1, ?2, , ?t 是 Ax = 0的解的一個最大無關(guān)組 。, xn=?n1為方程組 Ax = 0的解 , 則 ????????????121111nx?????稱為方程組 Ax = 0的 解向量 . (1) 若 x = ?1, x = ?2為 Ax = 0的解 , 則 x =?1 + ?2也是Ax = 0的解 . 證明 : 因?yàn)? A?1 = 0, A?2 = 0, 所以 A(?1 + ?2) = A?1 + A?2 = 0, 故 x =?1 + ?2也是 Ax = 0的解 . (2) 若 x = ?1為 Ax = 0的解 , k為數(shù) , 則 x = k?1也是 Ax = 0的解 . 證明 : 因?yàn)? A?1 = 0, 所以 A(k?1) = kA?1 = k 0 = 0, 故 x = k?1也是 Ax = 0的解 . 這兩個性質(zhì)表明 , Ax = 0的全體解向量所組成的集合對于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的 , 因此構(gòu)成一個向量空間 , 稱此向量空間為齊次方程組 Ax = 0 的 解空間 . 二、基礎(chǔ)解系及其求法 稱向量組 ?1, ?2, 當(dāng) R(A)=R(B)n時有無窮多解 。 為把35,aa用1 2 4,a a a線性表示，把 A 再變成行最簡形矩陣 1 0 1 0 40 1 1 0 3~0 0 0 1 30 0 0 0 0r?????????? ?????A 把上列行最簡形矩陣記作? ?1 2 3 4 5, , , ,?B b b b b b，由于方程0?Ax與0?Bx同解，即方程 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 0x x x x x? ? ? ? ?a a a a a 與 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 0x x x x x? ? ? ? ?b b b b b 同解因此向量1 2 3 4 5, , , ,a a a a a之間的線性關(guān)系與向量1 2 3 4 5, , , ,b b b b b之間的線性關(guān)系是相同的。而三個非零行的非零首元在 1 ， 2 ， 4三列，故1 2 4,a a a為列向量的一個最大無關(guān)組。3 若 向量組 B 能由向量組 A 線性表示，則BARR ?. 例： 設(shè)矩陣 2 1 1 1 21 1 2 1 44 6 2 2 43 6 9 7 9???????????? ???????A 求矩陣 的列向量的一個最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組 的列向量用最大無關(guān)組線性表示。因此根據(jù)最大無關(guān)組的等價定義知1?，2?是S的最大無關(guān)組，從而2SR ?. 定理 39。 解 ： 先 解 方程 ， 為 此 把 系數(shù) 矩陣 A 化成行最 簡形： 1232213 1 2232( 1 )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 3 0 1 ~ 0 1 2 3 ~ 0 1 2 31 1 5 7 0 3 6 9 0 0 0 0rrrrrrr r r???? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?A 得 1 3 42 3 43423x x xx x x????? ? ?? 令自由未知數(shù)31xc?，42xc?， 得通 解 12123434231001xxccxx??? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? 把上式記作1 1 2 2cc????x，知 1 1 2 2 1 1{ , }S c c c c??? ? ? ?x 即S能由向量組1?，2?線性表示。 推論 ( 最大無關(guān)組的等價定義 ) ： 設(shè) 向量組0 1 2: , , , rA a a a是向量組 A 的一個部分組，且滿足 （ i ） 向量組0A線性無關(guān)； （ i i ） 向量組 A 的任一向量都能由向量組0A線性表示， 那么向量組0A便是向量組 A 的一個最大無關(guān)組。 167。因 A 組線性無關(guān)，有()Rm ?A；因 B 組線性相關(guān)，有( ) 1Rm ??B。 （２）m個n維向量12, , , ma a a構(gòu)成矩陣12( , , , )n m m? ?A a a a，有()Rn ?A. 當(dāng)nm?時，有()Rn ?A，故m個向量12, , , ma a a線性相關(guān)。 （ 1 ） 記 ，有 。 （ 3 ）設(shè)向量組12: , , , mA a a a線性無關(guān)，而向量組12: , , , ,mB a a a b線性相關(guān)，則向量 b必能由向量組12: , , , mA a a a線性表示，且表示式是唯一的。 （ 2 ）m個n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個數(shù)m時一定線性相關(guān)。 定理 5 ： （ 1 ）若向量組12: , , , mA a a a線性相關(guān)，則向量組1 2 1: , , , ,mmB ?a a a a也線性相關(guān)。 解： 對矩陣1 2 3( , , )a a a施行初等行變換變成行階梯形矩陣，即可同時看出矩陣1 2 3( , , )a a a及的12( , )aa秩，利用定理 4 即可得出結(jié)論。否則稱它是 線性無關(guān) 。 證明：n維單位坐標(biāo)向量組12, , , ne e e能由向量組12: , , , mA a a a線性表示的充分必要條件是()Rn ?A. 證： 根據(jù)定理 2 ，向量組12, , , ne e e能由向量組 A 線性表示的充分必 要條件是? ?( ) ,RR ?A A E. 而 ? ?, ( )R R n??A E E，又矩陣? ?,AE含n行，知? ?,Rn ?AE合起來有? ?,Rn ?AE，因此條件? ?( ) ,RR ?A A E就是()Rn ?A. 167。
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1