向量組的線性相關(guān)性-文庫(kù)吧
2025-09-20 13:28 本頁(yè)面
【正文】 線性相關(guān)；同時(shí)可見(jiàn)12( , ) 2R ?aa故向量組12,aa線性無(wú)關(guān)。 定理 5 ： （ 1 ）若向量組12: , , , mA a a a線性相關(guān)，則向量組1 2 1: , , , ,mmB ?a a a a也線性相關(guān)。反言之，若向量組 B 線性無(wú)關(guān)，則向量組 A 也線性無(wú)關(guān)。 （ 2 ）m個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān)。特別地， 1n ?個(gè)n向量線性相關(guān)。 （ 3 ）設(shè)向量組12: , , , mA a a a線性無(wú)關(guān)，而向量組12: , , , ,mB a a a b線性相關(guān)，則向量 b必能由向量組12: , , , mA a a a線性表示，且表示式是唯一的。 證： 這些結(jié)論都可利用定理 4 來(lái)證明。 （ 1 ） 記 ，有 。 因向量組 線性相關(guān)，故根據(jù)定理 4 ，有 ，從而 ，因此根據(jù)定理 4 知向量組 線性相關(guān)。 （２）m個(gè)n維向量12, , , ma a a構(gòu)成矩陣12( , , , )n m m? ?A a a a，有()Rn ?A. 當(dāng)nm?時(shí)，有()Rn ?A，故m個(gè)向量12, , , ma a a線性相關(guān)。 （３） 記12( , , , )m?A a a a， 12( , , , , )m?B a a a b，有( ) ( )RR ?AB。因 A 組線性無(wú)關(guān)，有()Rm ?A；因 B 組線性相關(guān)，有( ) 1Rm ??B。 所以( ) 1m R m? ? ?B，即有()Rm ?B. 由 . 根據(jù)地上章定理 3, 知方程組 12( , , , )m ?a a a x b 有唯一解 , 即向量b能由向量組 A 線性表示，且表示式是唯一的。 167。 3 向量組的秩 定義 5 ： 設(shè)有向量組 A ，如果在 A 中能選出 r 個(gè)向量12, , , ra a a，滿足 （ i ） 向量組0 1 2: , , , rA a a a線性無(wú)關(guān)； （ ii ） 向量組 A 中任意 1r ? 個(gè)向量 ( 如果 A 中有 1r ? 個(gè)向量的話 ) 都線性相關(guān)； 那么稱(chēng)向量組0A是向量組 A 的一個(gè) 最大線性無(wú)關(guān)組 ( 簡(jiǎn)稱(chēng) 最大無(wú)關(guān)組 ) ；最大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù) r 稱(chēng)為 向量組 A 的秩 ，記作AR. 定理 6 ： 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。 推論 ( 最大無(wú)關(guān)組的等價(jià)定義 ) ： 設(shè) 向量組0 1 2: , , , rA a a a是向量組 A 的一個(gè)部分組，且滿足 （ i ） 向量組0A線性無(wú)關(guān)； （ i i ） 向量組 A 的任一向量都能由向量組0A線性表示， 那么向量組0A便是向量組 A 的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。 例 ： 設(shè) 齊 次 線性 方程組 1 2 3 41 2 41 2 3 42 2 0305 7 0x x x xx x xx x x x? ? ? ???? ? ???? ? ? ?? 的 全 體 解 向 量 構(gòu)成 的 向 量 組 為S， 求S的 秩 。 解 ： 先 解 方程 ， 為 此 把 系數(shù) 矩陣 A 化成行最 簡(jiǎn)形： 1232213 1 2232( 1 )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 3 0 1 ~ 0 1 2 3 ~ 0 1 2 31 1 5 7 0 3 6 9 0 0 0 0rrrrrrr r r???? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?A 得 1 3 42 3 43423x x xx x x????? ? ?? 令自由未知數(shù)31xc?，42xc?， 得通 解 12123434231001xxccxx??? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? 把上式記作1 1 2 2cc????x，知 1 1 2 2 1 1{ , }S c c c c??? ? ? ?x 即S能由向量組1?，2?線性表示。又因1?，2?的四個(gè)分量顯然不成比例，故1?，2?線性無(wú)關(guān)。因此根據(jù)最大無(wú)關(guān)組的等價(jià)定義知1?，2?是S的最大無(wú)關(guān)組，從而2SR ?. 定理 39。2 向量組12, , , lb b b能由向量組12, , , ma a a線性表示的充分必要條件是 1 2 1 2 1 2( , , , ) ( , , , , , , , )m m lRR ?a a a a a a b b b 定理 39。3 若 向量組 B 能由向量組 A 線性表示，則BARR ?. 例： 設(shè)矩陣 2 1 1 1 21 1 2 1 44 6 2 2 43 6 9 7 9???????????? ???????A 求矩陣 的列向量的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把不屬于最大無(wú)關(guān)組 的列向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示。 解： 對(duì) 施行初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣 1 1 2 1 40 1 1 1 0~0 0 0 1 30 0 0 0 0r?????????? ?????A 知( ) 3R ?A，故列向量組的最大無(wú)關(guān)組含 3 個(gè)向量。而三個(gè)非零行的非零首元在 1 ， 2 ， 4三列，故1 2 4,a a a為列向量的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。這是因?yàn)? 了 1 2 4111( , , ) ~ 0 1 10 0 1000r????????????????a a a 知1 2 4( , , ) 3R ?a a a，故1 2 4,a a a線性無(wú)關(guān)。 為把35,aa用1 2 4,a a a線性表示，把 A 再變成行最簡(jiǎn)形矩陣 1 0 1 0 40 1 1 0 3~0 0 0 1 30 0 0 0 0r?????????? ?????A 把上列行最簡(jiǎn)形矩陣記作? ?1 2 3 4 5, , , ,?B b b b b b，由于方程0?Ax與0
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