向量組的線性相關(guān)性(已修改)
2024-10-31 13:28 本頁面
【正文】 第四 章 向量組的線性相關(guān)性 167。 １ 向量組及其線性組合 定義 1 ： 向量：n個有次序的 數(shù)12, , , na a a所組成的數(shù)組稱為n維 向量 ，這n個數(shù)稱為該向量的n 個分量，第 i 個數(shù)ia稱為第 i 個分量。分量全為實數(shù)的向量稱為 實向 量 ，分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為 復(fù)向量 。 定義 2 ： 線性組合： 給定的向量組1 1 2 2: , , mmk k k?A a a a，對于任何一組實數(shù)12, , , mk k k，表達式 1 1 2 2: , , mmk k k?A a a a 稱為向量組 A 的一個 線性組合 ，12, , , mk k k稱為這個線性組合的系數(shù)。 定理 1 ： 向量b能由向量組12: , , , mA a a a線性表示的充分必要重要條件是矩陣? ?12 , , , m?A a a a的秩等于矩陣? ?12 , , , ,m?B a a a b的秩。 定義 3 ： 向量組等價： 設(shè)有兩個向量組12: , , , mA a a a及12: , , , lB b b b若 B 組中的每個向量都能由向量組 A 線 性表示，則稱 向量組 B 能由向量組 A 線性表示 。若向量組 A 與向量組 B 能相互 線性 表示，則稱這兩個 向量組等價 。 定理 2 ： 向量組12: , , , lB b b b能由向量組12: , , , mA a a a線性表示的充分必要條件是矩陣 ? ?12 , , , m?A a a a的秩等于矩陣? ?1 2 1 2( , ) , , , , , , ,ml?A B a a a b b b的秩， 即 ( ) ( , )RR ?A A B 推論： 向量組12: , , , mA a a a與向量組12: , , , lB b b b等價的充分必要條件是( ) ( ) ( , )RRR ??A B A B 其中 A 和 B 是向量組 A 和 B 所構(gòu)成的矩陣。 例： 設(shè) 11111?????????????????a ， 23113???????????????a ， 12011???????????????b ， 21102???????????????b ， 33120????????????????b 證明向量組12,aa與向量組1 2 3,b b b等價。 證： 記12( , )?A a a，1 2 3( , , )?B b b b根據(jù)定理 2 的推論，只要證( ) ( ) ( , )RRR ??A B A B為此把矩陣( , )AB化成行階梯形： 1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 1 3 2 1 31 1 0 1 1 0 4 2 2 2 0 2 1 1 1( , )1 1 1 0 2 0 2 1 1 1 0 0 0 0 01 3 1 2 0 0 6 3 3 3 0 0 0 0 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?AB 可見，( ) 2R ?A，( , ) 2R ?AB. 容易看出矩陣 B 中有不等于0的 2 階子式，故( ) 2R ?B. 又 ( ) ( , ) 2RR ??B A B 于是知( ) 2R ?B. 因此， ( ) ( ) ( , )RRR ??A B A B. 定理 3 ： 設(shè)向量組12: , , , lB b b b能由向量組12: , , , mA a a a線性表示，則 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )lmRR ?b b b a a a. 例 ： 設(shè)n維向量組12: , , , mA a a a構(gòu)成nm?矩陣? ?12 , , , n?A a a a，n階單位矩陣? ?12 , , , ne e e?E的列向量叫做n維單位坐標(biāo)向量。 證明：n維單位坐標(biāo)向量組12, , , ne e e能由向量組12: , , , mA a a a線性表示的充分必要條件是()Rn ?A. 證： 根據(jù)定理 2 ，向量組12, , , ne e e能由向量組 A 線性表示的充分必 要條件是? ?( ) ,RR ?A A E. 而 ? ?, ( )R R n??A E E，又矩陣? ?,AE含n行，知? ?,Rn ?AE合起來有? ?,Rn ?AE，因此條件? ?( ) ,RR ?A A E就是()Rn ?A. 167。 2 向量組的線性相關(guān)性 定義 4 ： 線性相關(guān)： 給定向量組12: , , , mA a a a如果存在不全為零的數(shù)12, , , mk k k使1 1 2 2 , , 0mmk k k??a a a 則稱向量組 是 線性相關(guān) 的。否則稱它是 線性無關(guān) 。 定理 4 ： 向量組12, , , ma a a線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣12: ( , , , )mA a a a的秩小于向量個數(shù)m；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是()Rm ?A. 例： 已知 1111???????????a， 2025???????????a， 3247???????????a， 試討論向量組1 2 3,a a a及向量組12,aa的線性相關(guān)性。 解： 對矩陣1 2 3( , , )a a a施行初等行變換變成行階梯形矩陣，即可同時看出矩陣1 2 3( , , )a a a及的12( , )aa秩，利用定理 4 即可得出結(jié)論。 312131521 2 31 0 2 1 0 2 1 0 2( , , ) 1 2 4 ~ 0 2 2 ~ 0 2 21 5 7 0 5 5 0 0 0rrrrrr???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?a a a 可見1 2 3( , , ) 2R ?a a a, 故向量組1 2 3,a a a
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