向量組的線性相關性(編輯修改稿)
2024-11-15 13:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?Bx同解，即方程 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 0x x x x x? ? ? ? ?a a a a a 與 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 0x x x x x? ? ? ? ?b b b b b 同解因此向量1 2 3 4 5, , , ,a a a a a之間的線性關系與向量1 2 3 4 5, , , ,b b b b b之間的線性關系是相同的?，F(xiàn)在 3 1 21 1 01 0 1( 1 ) ( 1 )0 0 00 0 0?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?b b b 5 1 2 44 3 3? ? ?b b b b 因此 3 1 2? ? ?a a a 5 1 2 44 3 3? ? ?a a a a 第四節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu) (1) n個未知數(shù)的齊次線性方程組 Ax = 0有非零解的充分必要條件為其系數(shù)矩陣的秩 R(A) n. (2) n個未知數(shù)的非齊次線性方程組 Ax = b 有解的充分必要條件為系數(shù)矩陣 A與增廣矩陣 B=(A | b)的秩相等 , 且當 R(A)=R(B)=n時有唯一解 。 當 R(A)=R(B)n時有無窮多解 。 前面我們已經(jīng)用初等變換的方法討論了線性方程組的解法 , 并建立了兩個重要定理 : 一、齊次線性方程組的解 設有齊次線性方程組 ???????????????????000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???????????????若記 ,212222111211???????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????,21???????????nxxxx?則上述方程組可寫成向量方程 Ax = 0. 若 x1=?11, x2=?21, , xn=?n1為方程組 Ax = 0的解 , 則 ????????????121111nx?????稱為方程組 Ax = 0的 解向量 . (1) 若 x = ?1, x = ?2為 Ax = 0的解 , 則 x =?1 + ?2也是Ax = 0的解 . 證明 : 因為 A?1 = 0, A?2 = 0, 所以 A(?1 + ?2) = A?1 + A?2 = 0, 故 x =?1 + ?2也是 Ax = 0的解 . (2) 若 x = ?1為 Ax = 0的解 , k為數(shù) , 則 x = k?1也是 Ax = 0的解 . 證明 : 因為 A?1 = 0, 所以 A(k?1) = kA?1 = k 0 = 0, 故 x = k?1也是 Ax = 0的解 . 這兩個性質(zhì)表明 , Ax = 0的全體解向量所組成的集合對于加法和數(shù)乘運算是封閉的 , 因此構(gòu)成一個向量空間 , 稱此向量空間為齊次方程組 Ax = 0 的 解空間 . 二、基礎解系及其求法 稱向量組 ?1, ?2, , ?t為齊次線性方程組 Ax = 0的基礎解系 , 如果 (1) ?1, ?2, , ?t 是 Ax = 0的解的一個最大無關組 。 (2) Ax = 0的任一解都可由 ?1, ?2, , ?t 線性表出 . 如果向量組 ?1, ?2, , ?t 為齊次線性方程組 Ax = 0的一組基礎解系 , 那么 , Ax = 0的通解可表示為 : x = k1?1 + k2?2 + + kt?t 其中 k1, k2, , kt為任意常數(shù) . 設齊次線性方程組 Ax = 0的系數(shù)矩陣 A的前 r 個列向量線性無關 , 于是 A可化為 : ??????????????????000000001001~ ,1,111????????????????????rnrrrnbbbbA即有方程組 .,11,11111?????????????????nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx????????(1) .100,010,00121????????????????????????????????????????????????nrrxxx現(xiàn)對 ( xr+1, , xn )T 取下列 n–r 組數(shù) (向量 ): 分別代入方程組 (1)依次得 : .,2,1222121211121???????????????????????????????????????????????????????rnrrnrnrrr bbbbbbbbbxxx?????從而求得原方程組的 n–r個解 : ,001121111????????????????????????rbbb? ,010222122????????????????????????rbbb?.100,2,1???????????????????????? ??????rnrrnrnrnbbb?, 定理 1: 當 n元齊
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