兩個變量間的線性相關及回歸方程的求法專題(編輯修改稿)
2025-07-04 13:50 本頁面
【文章內容簡介】 有一臺機床可以按各種不同的速度運轉，其加工的零件有一些是二級品，每小時生產(chǎn)的二級品零件的數(shù)量隨機床運轉的速度而變化。下面是實驗的步驟：機床運轉的速度（轉/秒）每小時生產(chǎn)二級品的數(shù)量（個）851281491611（1）作出散點圖；（2）求出機床運轉的速度與每小時生產(chǎn)二級品數(shù)量的回歸直線方程；（3）若實際生產(chǎn)中所允許的二級品不超過10個，那么機床的運轉速度不得超過多少轉/秒？ 分析：散點圖形象地反映了各對數(shù)據(jù)的密切程度，通常在尚未判斷兩個變量之間是否具有線性相關關系的情況下，應先進行相關性檢驗，在確認具有線性相關關系后，再求其回歸直線方程。解析：（1）散點圖如下圖所示：（2）易求得，＝，＝－，∴所求回歸直線方程為。（3）依題意，要使，－。評注：利用最小二乘法求線性回歸直線方程有著廣泛的應用，請同學們聯(lián)系實際，熟練掌握。知能展示1．為了研究三月下旬的平均氣溫（）與四月二十號前棉花害蟲化蛹高峰日（）的關系，某地區(qū)觀察了1996年至2001年的情況，得到下面的數(shù)據(jù)：年 份199619971998199920002001（天）19611018據(jù)氣象預測，該地區(qū)在2002年三月下旬平均氣溫為，試估計2002年四月化蛹高峰日為哪天。2．某地區(qū)第一年到第六年的用電量與年次的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 用電單位：億度年次123456用電量 （1）與是否具有線性相關關系？ （2）如果與具有線性相關關系，求回歸直線方程。答案： 1．提示：估計該地區(qū)2002年4月12日或13日為化蛹高峰日。 2．（1）線性相關；（2）五、相關性和最小二乘估計易錯點例析根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出散點圖，判定兩個變量且有線性相關關系，然后利用最小二乘法求出回歸直線方程，并利用回歸方程進行預測和估計，這是一個完整的雙變量統(tǒng)計的過程。在這一統(tǒng)計分析過程中，有以下幾點易于出錯，初學者要特別注意。一、把函數(shù)關系當作相關關系例下列兩變量中具有相關關系的是（ ）（A）正方體的體積與邊長；（B）勻速行駛的車輛的行駛距離與時間；（C）人的身高與體重； （D）人的身高與視力錯解：選（A）或（B）。分析：函數(shù)關系的兩個變量之間是一種確定的關系，而相關關系的兩個變量之間是一種不確定的關系，因此，不能把相關系等同于函數(shù)關系。本例中，（A）和（B）都是函數(shù)關系，（D）則無相關關系。正解選（C）。例下列各關系中，不屬于相關關系的是（ ?。ˋ）名師出高徒?。˙）球的表面積與體積?。–）家庭的支出與收入?。―）人的年齡與體重 錯解：選（A）。分析：函數(shù)關系是一種因果關系，但相關關系不一定是因果關系。有名的老師能教出高明的徒弟，通常情況下，高水平的老師有很大的趨勢教出高水平的學生，但是，高水平的老師所教的學生不一定都是高水平的，也就是說，他們之間沒有困果關系的，但有相關關系。正解選（B），球的表面積與體積之間是函數(shù)關系。二、把不相關或非線性相關當作線性相關例3 下表是某地的年降雨量與年平均氣溫，℃時的年降雨量？年平均氣溫（℃）年降雨量（mn）748542507813574701432錯解：按照最小二乘法可求出這兩個變量之間的線性回歸方程，進而計算出估計值；分析：以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量，作出相應的散點圖如下：可以發(fā)現(xiàn)圖中各點并不在一條直線的附近，所以兩者不具有相關關系，沒必要用回歸直線進行擬合，用最小二乘法公式求得回歸直線也是沒有意義的。例4 某機構曾研究溫度對某種細菌的影響，在一定溫度下，經(jīng)x單位時間，細菌的數(shù)量指數(shù)為y，數(shù)據(jù)如下：(1,2) (2
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