兩個(gè)變量間的線性相關(guān)及回歸方程的求法專題(編輯修改稿)
2025-07-04 13:50 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 有一臺(tái)機(jī)床可以按各種不同的速度運(yùn)轉(zhuǎn)，其加工的零件有一些是二級(jí)品，每小時(shí)生產(chǎn)的二級(jí)品零件的數(shù)量隨機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化。下面是實(shí)驗(yàn)的步驟：機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)的速度（轉(zhuǎn)/秒）每小時(shí)生產(chǎn)二級(jí)品的數(shù)量（個(gè)）851281491611（1）作出散點(diǎn)圖；（2）求出機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)的速度與每小時(shí)生產(chǎn)二級(jí)品數(shù)量的回歸直線方程；（3）若實(shí)際生產(chǎn)中所允許的二級(jí)品不超過(guò)10個(gè)，那么機(jī)床的運(yùn)轉(zhuǎn)速度不得超過(guò)多少轉(zhuǎn)/秒？ 分析：散點(diǎn)圖形象地反映了各對(duì)數(shù)據(jù)的密切程度，通常在尚未判斷兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系的情況下，應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，在確認(rèn)具有線性相關(guān)關(guān)系后，再求其回歸直線方程。解析：（1）散點(diǎn)圖如下圖所示：（2）易求得，＝，＝－，∴所求回歸直線方程為。（3）依題意，要使，－。評(píng)注：利用最小二乘法求線性回歸直線方程有著廣泛的應(yīng)用，請(qǐng)同學(xué)們聯(lián)系實(shí)際，熟練掌握。知能展示1．為了研究三月下旬的平均氣溫（）與四月二十號(hào)前棉花害蟲(chóng)化蛹高峰日（）的關(guān)系，某地區(qū)觀察了1996年至2001年的情況，得到下面的數(shù)據(jù)：年 份199619971998199920002001（天）19611018據(jù)氣象預(yù)測(cè)，該地區(qū)在2002年三月下旬平均氣溫為，試估計(jì)2002年四月化蛹高峰日為哪天。2．某地區(qū)第一年到第六年的用電量與年次的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 用電單位：億度年次123456用電量 （1）與是否具有線性相關(guān)關(guān)系？ （2）如果與具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程。答案： 1．提示：估計(jì)該地區(qū)2002年4月12日或13日為化蛹高峰日。 2．（1）線性相關(guān)；（2）五、相關(guān)性和最小二乘估計(jì)易錯(cuò)點(diǎn)例析根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，判定兩個(gè)變量且有線性相關(guān)關(guān)系，然后利用最小二乘法求出回歸直線方程，并利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和估計(jì)，這是一個(gè)完整的雙變量統(tǒng)計(jì)的過(guò)程。在這一統(tǒng)計(jì)分析過(guò)程中，有以下幾點(diǎn)易于出錯(cuò)，初學(xué)者要特別注意。一、把函數(shù)關(guān)系當(dāng)作相關(guān)關(guān)系例下列兩變量中具有相關(guān)關(guān)系的是（ ?。ˋ）正方體的體積與邊長(zhǎng)；（B）勻速行駛的車輛的行駛距離與時(shí)間；（C）人的身高與體重； （D）人的身高與視力錯(cuò)解：選（A）或（B）。分析：函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量之間是一種不確定的關(guān)系，因此，不能把相關(guān)系等同于函數(shù)關(guān)系。本例中，（A）和（B）都是函數(shù)關(guān)系，（D）則無(wú)相關(guān)關(guān)系。正解選（C）。例下列各關(guān)系中，不屬于相關(guān)關(guān)系的是（ ?。ˋ）名師出高徒 （B）球的表面積與體積?。–）家庭的支出與收入?。―）人的年齡與體重 錯(cuò)解：選（A）。分析：函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系。有名的老師能教出高明的徒弟，通常情況下，高水平的老師有很大的趨勢(shì)教出高水平的學(xué)生，但是，高水平的老師所教的學(xué)生不一定都是高水平的，也就是說(shuō)，他們之間沒(méi)有困果關(guān)系的，但有相關(guān)關(guān)系。正解選（B），球的表面積與體積之間是函數(shù)關(guān)系。二、把不相關(guān)或非線性相關(guān)當(dāng)作線性相關(guān)例3 下表是某地的年降雨量與年平均氣溫，℃時(shí)的年降雨量？年平均氣溫（℃）年降雨量（mn）748542507813574701432錯(cuò)解：按照最小二乘法可求出這兩個(gè)變量之間的線性回歸方程，進(jìn)而計(jì)算出估計(jì)值；分析：以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量，作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖如下：可以發(fā)現(xiàn)圖中各點(diǎn)并不在一條直線的附近，所以兩者不具有相關(guān)關(guān)系，沒(méi)必要用回歸直線進(jìn)行擬合，用最小二乘法公式求得回歸直線也是沒(méi)有意義的。例4 某機(jī)構(gòu)曾研究溫度對(duì)某種細(xì)菌的影響，在一定溫度下，經(jīng)x單位時(shí)間，細(xì)菌的數(shù)量指數(shù)為y，數(shù)據(jù)如下：(1,2) (2
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