向量組的線性相關(guān)性-wenkub
2022-11-03 13:28:41 本頁面
【正文】 lB b b b等價的充分必要條件是( ) ( ) ( , )RRR ??A B A B 其中 A 和 B 是向量組 A 和 B 所構(gòu)成的矩陣。 定義 2 ： 線性組合： 給定的向量組1 1 2 2: , , mmk k k?A a a a，對于任何一組實數(shù)12, , , mk k k，表達(dá)式 1 1 2 2: , , mmk k k?A a a a 稱為向量組 A 的一個 線性組合 ，12, , , mk k k稱為這個線性組合的系數(shù)。第四 章 向量組的線性相關(guān)性 167。 定理 1 ： 向量b能由向量組12: , , , mA a a a線性表示的充分必要重要條件是矩陣? ?12 , , , m?A a a a的秩等于矩陣? ?12 , , , ,m?B a a a b的秩。 例： 設(shè) 11111?????????????????a ， 23113???????????????a ， 12011???????????????b ， 21102???????????????b ， 33120????????????????b 證明向量組12,aa與向量組1 2 3,b b b等價。否則稱它是 線性無關(guān) 。 定理 5 ： （ 1 ）若向量組12: , , , mA a a a線性相關(guān)，則向量組1 2 1: , , , ,mmB ?a a a a也線性相關(guān)。 （ 3 ）設(shè)向量組12: , , , mA a a a線性無關(guān)，而向量組12: , , , ,mB a a a b線性相關(guān)，則向量 b必能由向量組12: , , , mA a a a線性表示，且表示式是唯一的。 （２）m個n維向量12, , , ma a a構(gòu)成矩陣12( , , , )n m m? ?A a a a，有()Rn ?A. 當(dāng)nm?時，有()Rn ?A，故m個向量12, , , ma a a線性相關(guān)。 167。 解 ： 先 解 方程 ， 為 此 把 系數(shù) 矩陣 A 化成行最 簡形： 1232213 1 2232( 1 )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 3 0 1 ~ 0 1 2 3 ~ 0 1 2 31 1 5 7 0 3 6 9 0 0 0 0rrrrrrr r r???? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?A 得 1 3 42 3 43423x x xx x x????? ? ?? 令自由未知數(shù)31xc?，42xc?， 得通 解 12123434231001xxccxx??? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? 把上式記作1 1 2 2cc????x，知 1 1 2 2 1 1{ , }S c c c c??? ? ? ?x 即S能由向量組1?，2?線性表示。3 若 向量組 B 能由向量組 A 線性表示，則BARR ?. 例： 設(shè)矩陣 2 1 1 1 21 1 2 1 44 6 2 2 43 6 9 7 9???????????? ???????A 求矩陣 的列向量的一個最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組 的列向量用最大無關(guān)組線性表示。 為把35,aa用1 2 4,a a a線性表示，把 A 再變成行最簡形矩陣 1 0 1 0 40 1 1 0 3~0 0 0 1 30 0 0 0 0r?????????? ?????A 把上列行最簡形矩陣記作? ?1 2 3 4 5, , , ,?B b b b b b，由于方程0?Ax與0?Bx同解，即方程 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 0x x x x x? ? ? ? ?a a a a a 與 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 0x x x x x? ? ? ? ?b b b b b 同解因此向量1 2 3 4 5, , , ,a a a a a之間的線性關(guān)系與向量1 2 3 4 5, , , ,b b b b b之間的線性關(guān)系是相同的。, ?t 是 Ax = 0的解的一個最大無關(guān)組 。, ?t 線性表出 . 如果向量組 ?1, ?2, , xn )T 取下列 n–r 組數(shù) (向量 ): 分別代入方程組 (1)依次得 : .,2,1222121211121???????????????????????????????????????????????????????rnrrnrnrrr bbbbbbbbbxxx?????從而求得原方程組的 n–r個解 : ,001121111????????????????????????rbbb? ,010222122????????????????????????rbbb?.100,2,1???????????????????????? ??????rnrrnrnrnbbb?, bl ) = (0, 0, +knr?nr 為對應(yīng)
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