向量組的線性相關性-展示頁
2024-10-28 13:28本頁面
【正文】 例： 設 11111?????????????????a ， 23113???????????????a ， 12011???????????????b ， 21102???????????????b ， 33120????????????????b 證明向量組12,aa與向量組1 2 3,b b b等價。若向量組 A 與向量組 B 能相互 線性 表示，則稱這兩個 向量組等價 。 定理 1 ： 向量b能由向量組12: , , , mA a a a線性表示的充分必要重要條件是矩陣? ?12 , , , m?A a a a的秩等于矩陣? ?12 , , , ,m?B a a a b的秩。分量全為實數(shù)的向量稱為 實向 量 ，分量全為復數(shù)的向量稱為 復向量 。第四 章 向量組的線性相關性 167。 １ 向量組及其線性組合 定義 1 ： 向量：n個有次序的 數(shù)12, , , na a a所組成的數(shù)組稱為n維 向量 ，這n個數(shù)稱為該向量的n 個分量，第 i 個數(shù)ia稱為第 i 個分量。 定義 2 ： 線性組合： 給定的向量組1 1 2 2: , , mmk k k?A a a a，對于任何一組實數(shù)12, , , mk k k，表達式 1 1 2 2: , , mmk k k?A a a a 稱為向量組 A 的一個 線性組合 ，12, , , mk k k稱為這個線性組合的系數(shù)。 定義 3 ： 向量組等價： 設有兩個向量組12: , , , mA a a a及12: , , , lB b b b若 B 組中的每個向量都能由向量組 A 線 性表示，則稱 向量組 B 能由向量組 A 線性表示 。 定理 2 ： 向量組12: , , , lB b b b能由向量組12: , , , mA a a a線性表示的充分必要條件是矩陣 ? ?12 , , , m?A a a a的秩等于矩陣? ?1 2 1 2( , ) , , , , , , ,ml?A B a a a b b b的秩， 即 ( ) ( , )RR ?A A B 推論： 向量組12: , , , mA a a a與向量組12: , , , lB b b b等價的充分必要條件是( ) ( ) ( , )RRR ??A B A B 其中 A 和 B 是向量組 A 和 B 所構成的矩陣。 證： 記12( , )?A a a，1 2 3( , , )?B b b b根據(jù)定理 2 的推論，只要證( ) ( ) ( , )RRR ??A B A B為此把矩陣( , )AB化成行階梯形： 1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 1 3 2 1 31 1 0 1 1 0 4 2 2 2 0 2 1 1 1( , )1 1 1 0 2 0 2 1 1 1 0 0 0 0 01 3 1 2 0 0 6 3 3 3 0 0 0 0 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?AB 可見，( ) 2R ?A，( , ) 2R ?AB. 容易看出矩陣 B 中有不等于0的 2 階子式，故( ) 2R ?B. 又 ( ) ( , ) 2RR ??B A B 于是知( ) 2R ?B. 因此， ( ) ( ) ( , )RRR ??A B A B. 定理 3 ： 設向量組12: , , , lB b b b能由向量組12: , , , mA a a a線性表示，則 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )lmRR ?b b b a a a. 例 ： 設n維向量組12: , , , mA a a a構成nm?矩陣? ?12 , , , n?A a a a，n階單位矩陣? ?12 , , , ne e e?E的列向量叫做n維單位坐標向量。 2 向量組的線性相關性 定義 4 ： 線性相關： 給定向量組12: , , , mA a a a如果存在不全為零的數(shù)12, , , mk k k使1 1 2 2 , , 0mmk k k??a a a 則稱向量組 是 線性相關 的。 定理 4 ： 向量組12, , , ma a a線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣12: ( , , , )mA a a a的秩小于向量個數(shù)m；向量組線性無關的充分必要條件是()Rm ?A. 例： 已知 1111???????????a， 2025???????????a， 3247???????????a， 試討論向量組1 2 3,a a a及向量組12,aa的線性相關性。 312131521 2 31 0 2 1 0 2 1 0 2( , , ) 1 2 4 ~ 0 2 2 ~ 0 2 21 5 7 0 5 5 0 0 0rrrrrr???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?a a a 可見1 2 3( , , ) 2R ?a a a, 故向量組1 2 3,a a a線性相關；同時可見12( , ) 2R ?aa故向量組12,aa線性無關。反言之，若向量組 B 線性無關，則向量組 A 也線性無關。特別地， 1n ?個n向量線性相關。 證： 這些結論都可利用定理 4 來證明。 因向量組 線性相關，故根據(jù)定理 4 ，有 ，從而 ，因此根據(jù)定理 4 知向量組 線性相關。 （３） 記12( , , , )m?A a a a， 12( , , , , )m?B a a a b，有( ) ( )RR ?AB。 所以( ) 1m R m? ? ?B，即有()Rm ?B. 由 . 根據(jù)地上章定理 3, 知方程組 12( , , , )m ?a a a x b 有唯一解 , 即向量
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