高等代數(shù)【北大版】(5)-資料下載頁
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【正文】 積的矩陣表示 1 1 2 2 nnx x x? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 2 nny y y? ? ? ?? ? ? ?令 ( , ) , , 1 , 2 , .ij i ja i j n????1 1 1 1( , ) ( , ) ( , )n n n ni i j j i j i ji j i jx y x y? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?（ 8） 167。 定義與基本性質(zhì) 定義 ：矩陣 ? ?1 1 1 2 12 1 2 2 212( , ) ( , ) ( , )( , ) , ( , )( , ) ( , ) ( , )nnn n n nA? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????稱為基 的 度量矩陣 . 12, , , n? ? ?? ?1122,ij nnnnxyxyA a X Yxy?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?（ 9） 則 11( , )nnij i jija x y X A Y?????????（ 10） 167。 定義與基本性質(zhì) ① 度量矩陣 A是實對稱矩陣 . ② 由內(nèi)積的正定性，度量矩陣 A還是正定矩陣 . 注： 事實上，對 ，即 ,0V??? ? ?0X ?有 ( , ) 0X AX?? ???A? 為正定矩陣 . ③ 由（ 10）知，在基 下，向量的內(nèi)積 12, , , n? ? ?由度量矩陣 A完全確定 . 167。 定義與基本性質(zhì) ④ 對同一內(nèi)積而言，不同基的度量矩陣是合同的 . 證：設(shè) 為歐氏空間 V的兩組 1 2 1 2, , , 。 , , ,nn? ? ? ? ? ?基，它們的度量矩陣分別為 A、 B ，且 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn C? ? ? ? ? ??設(shè) ? ? ? ?12, , , ,i j nnnC c C C C???1, 1 , 2 , ,ni k i kkc i n??????則 167。 定義與基本性質(zhì) 11( , ) ( , )nni j k i k lj lklcc? ? ? ???? ??11( , )nnk l ki ljklcc????? ??11nnkl ki ljkla c c??? ??ijC AC??于是 ? ? ? ?( , )i j i jB C A C?? ?? ? ?? ?1212, , , nnCC A C C C C ACC?????? ??????? ???167。 定義與基本性質(zhì) 歐氏空間 V的子空間在所 V中定義的內(nèi)積之下也是 一個歐氏空間，稱之為 V的 歐氏子空間 . 五、 歐氏空間的子空間
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