長(zhǎng)度向量的正交性向量空間的正交規(guī)范基的概念向量組的正-資料下載頁(yè)
2024-09-28 08:45本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】量的內(nèi)積，從而引進(jìn)n維向量的度量概念：向量的長(zhǎng)度，在直角坐標(biāo)系中表示為。的與稱(chēng)為向量令yxyxyxyxyxyxnn???????有均為列向量時(shí)與當(dāng)。得左乘上式兩端以,1T??.,,,21線(xiàn)性無(wú)關(guān)于是向量組r???????即應(yīng)滿(mǎn)足齊次方程,03????從而有基礎(chǔ)解系.就是R4的一個(gè)正交規(guī)范基。有左乘上式用為求其中的系數(shù)。:,,,21規(guī)范正交化可以用以下辦法把r???????
【正文】 ?????????????.0422,0,43211432?????xxxxxaaaa T 即應(yīng)滿(mǎn)足方程向量 ?????解 其基礎(chǔ)解系可取為 .9884,0542,0012321?????????????????????????????????????????????? ?? ??????.,, 342312321 即可取是兩兩正交的顯然 ?????? ????????? ??? aaa上頁(yè) 下頁(yè) 返回 定義 4 如果 n 階方陣 A 滿(mǎn)足 AT A = E ( 即 A－ 1 = AT ), 那么稱(chēng) A 為 正交陣 。 上式用 A 的列向量表示，即是 ? ? ,2121EaaaaaanTnTT???????????????????????? ? ? ? ),2,1,(0,1 njijijiaaijjTi ??? ???????? ?亦即上頁(yè) 下頁(yè) 返回 ???????????????????????????2121000021212121212121212121P是正交陣。 例 4 解 P 的每一個(gè)行向量都是單位向量，且兩兩正交，所以 P 是正交陣。 驗(yàn)證矩陣 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 這就說(shuō)明：方陣 A 為 正交陣 的充分必要條件是 A 的列( 行 )向量都是單位向量且兩兩正交。從而正交陣 A 的n 個(gè)列 ( 行 )向量構(gòu)成向量空間 R n 的一個(gè)規(guī)范正交基。 定義 5 若 P 為正交陣，則線(xiàn)性變換 y = P x 稱(chēng)為 正交變換 。 .xxxxPPxyyy TTTT ???????? ???? 這就說(shuō)明：正交變換保持線(xiàn)段長(zhǎng)度保持不變。從而利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形不會(huì)改變二次型的幾何特征。 設(shè) y = P x 是正交變換，則有 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 (i). 正交矩陣 A 的行列式 |A| = 1 或 |A| = － 1。 (ii). 正交矩陣 A 是可逆的，且 A－ 1 =AT ； (iii). 正交矩陣 A 的逆矩陣 A－ 1 也是正交矩陣； (iv). 同階正交矩陣 A 與 B 的乘積也是正交矩陣。 正交矩陣在本章中占有重要的地位，因此，必須牢記正交矩陣的 性質(zhì) ： 上頁(yè) 返回
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