長度向量的正交性向量空間的正交規(guī)范基的概念向量組的正(已修改)
2025-10-09 08:45 本頁面
【正文】 ★ 向量的內(nèi)積的概念 ★向量的長度 ★向量的正交性 ★向量空間的正交規(guī)范基的概念 ★向量組的正交規(guī)范化 ★正交陣、正交變換的概念 167。 1. 預(yù)備知識：向量的內(nèi)積 下頁 關(guān)閉 n維向量是空間三維向量的推廣，本節(jié)通過定義向 量的內(nèi)積，從而引進(jìn) n維向量的度量概念：向量的長度， 夾角及正交。 定義 1 設(shè)有 n 維向量 TnTn yyyyxxxx ),(,),( 2121 ???? ??向量內(nèi)積的概念 在空間解析幾何中，兩向量的數(shù)量積 ?c o s|||| yxyx ???? ??在直角坐標(biāo)系中表示為 ,),(),( 332211321321 yxyxyxyyyxxxyx ?????? ??推廣到 n 維向量即有： 的與稱為向量令 yxyxyxyxyxyx nn ??????? ],[,],[ 2211 ????上頁 下頁 返回 內(nèi)積 。 ,],[,yxyxyx T ?????? ?有均為列向量時與當(dāng)可以用矩陣表示種運(yùn)算向量的內(nèi)積是向量的一內(nèi)積的 運(yùn)算規(guī)律 ： .0],[,0,0],) .[(]。,][,[],[:).(]。,[],[],[:).(]。,[],[],[:).(]。,[],[:).(2??????????xxxxxvyyxxyxivzyzxzyxiiiyxyxyxiixyyxi????????????????????????????有時且當(dāng)施瓦茨不等式加法分配律數(shù)乘結(jié)合律交換律???上頁 下頁 返回 向量的長度 由向量內(nèi)積的性質(zhì) (v) 自然引入向量的長度。 定義 1 令 .],[ 22221 的長度為向量 xxxxxxx n ????? ?????向量長度的性質(zhì)： .:).(。:).(。,0,0:).(yxyxi i ixxiixxi???????????????三角不等式齊次性等式成立時當(dāng)且僅當(dāng)非負(fù)性??上頁 下頁 返回 為時，稱當(dāng) xx 1??單位向量 。 ,0,0 時當(dāng) ?? yx ??||||||||],[a r c co syxyx ?? ?????正交向量組 ：指一組兩兩正交的非零向量。 的與維向量稱為 yxn ??向量的正交性 空間解析幾何中兩向量垂直推廣到 n 維向量，可得向量的正交性概念。 .,0.,0],[何向量正交與任時當(dāng)正交與稱向量時當(dāng) xxyxyx ?????????上頁 下頁 返回 夾角 。 定理 1 .,,2121線性無關(guān)則的非零向量是一組兩兩正交維向量若rrn??????????????證 ,0,221121 ?????????? rrr????????? 使設(shè)有得左乘上式兩端以 ,1T?? ,0111 ???? ?? T,01 ???因 ,02111 ?? ??? ??? T故 .
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