【正文】 ， 1個(gè)獨(dú)立特征向量 2021/6/17 69 定理 1： 對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng) ，如果 A特征值 互異，則必存在非奇異變換矩陣 P，通過(guò)變換 ，將原狀態(tài)方程 化為對(duì)角線(xiàn)規(guī)范形式 。 n??? , 21 ?xPx ?( , , )?? A B C( , , )?? A B C( , , )?? A B C其中 ： CPCBPBAPPAn???????????????? ?? ,001211????證明： 1）找非奇異變換陣 由特征值性質(zhì) 4)知，由 A特征向量構(gòu)成的矩 陣 是非奇異的，故可選 P為變換陣。 ? ?nvvvP ?21?3）由變換矩陣 P和矩陣 A， B， C求出 ，其中對(duì)角陣 可以由特征值直接寫(xiě)出，只需求出 即可。 CBA ,A CB,2021/6/17 70 2）求 APPA 1??? ? ? ? ? ?? ??????????????????????????nnnnnnnPvvvvvvAvAvAvvvvAAP?????????????112122112121上式兩端左乘 得： 1?P1122110000 nnP AP P P????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?證畢！ 特征值定義 iii vAv ??2021/6/17 71 [例 ] 線(xiàn)性定常系統(tǒng) ，其中： 將此狀態(tài)方程化為對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型 . BuAxx ????????????????????????????327,120010112BA當(dāng) 時(shí)， 2)確定非奇異矩陣 P 21 ???????????????????????????????????? 0203001200301103121213121312111vvvvvvvv? ?? ?? ?1,1,2112120010112321 ???????????????????????? AI[解 ]: 1)求其特征值 : 2021/6/17 72 為任意常數(shù)113121 ,0 vvv ??????????????0011v取 : ???????????????????????????????????0220302200001133222322212322212vvvvvvvv當(dāng) 時(shí)， 12 ???0, 123222 ??? vvv 取 : ????????????1102v???????????1013v同理當(dāng) 時(shí)，得 : 13 ??2021/6/17 73 ? ??????????? ???????????????? ?110010111,1100101011321 PvvvP 并求得所以有112000 1 00 0 11 1 1 7 20 1 0 2 20 1 1 3 5??????? ? ?????????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A P A PB P BBA,3）求 uxx???????????????????????522100010002?對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型為： 2021/6/17 74 證明：略 (提示，根據(jù)特征值和特征向量的定義證明 )。 定理 2： 對(duì)線(xiàn)性定常系統(tǒng)，如果其特征值 互異， 且系數(shù)矩陣 A是以上的友矩陣 ，則將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異矩陣 P是一個(gè) 范德蒙矩陣 ，具有如下形式： n??? , 21 ????????????????????? 112112222121111nnnnnnP?????????????????2021/6/17 75 [例 ]： 線(xiàn)性定常系統(tǒng) ，其中 將狀態(tài)方程化為對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型 . ???????????????????????1579,212100010BABuAxx ???? ?? ?? ? 011222 23 ?????????? ??????? AI[解 ]： 1）確定系統(tǒng)特征值 . 1,1,2 321 ???? ???由特征值性質(zhì) 5）有： 得： 2021/6/17 76 2)確定非奇異變換陣 P ????????????????????????????????????? ?612131212131311232221321 10,114112111111PP 求得??????說(shuō)明 ： 的另一種求法： 求得特征值后，可以直接寫(xiě)出對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型的 ，所以 可以用待定系數(shù)法求得。 1?PA 1?PAPPAAPPA 111 ??? ?? 可得：由所以 A和 已知，可以解出 A 1?P2021/6/17 77 故在本例中： ?????????????????????????21210001010001000211 PP??????????????????????????????????????????? 212100010100010002333231232221131211333231232221131211pppppppppppppppppp????????????????????????????????? 333233313323222321231312131113333231232221131211222222222pppppppppppppppppppppppp由上式得： 求得： ???????????????612131212131311 10P2021/6/17 78 ???????????????????????????????????????????????????2521579101000100026121312121313111BPBAPPABA,3)求 系統(tǒng)狀態(tài)方程對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型為： uxx???????????????????????252100010002?2021/6/17 79 二、將狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型（系統(tǒng)具有重特征根） 注： 以后不特別指明， A的每個(gè)重特征值各自?xún)H對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的特征向量，等同于每個(gè)約當(dāng)塊僅有一個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的特征向量 。此時(shí)進(jìn)行線(xiàn)性變換，需增加廣義特征向量，來(lái)構(gòu)成 Q變換陣。 1, 3 ( ) 1ran k I A??? ＝???????????200310211A3, 3 ( ) 1ran k I A??? ＝121 ?? ??23 ??， 1個(gè)獨(dú)立特征向量 ， 1個(gè)獨(dú)立特征向量 化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的條件 ： A有重特征值，且 A特征值對(duì)應(yīng)的獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)小于 n。 即 A的某些重特征值，其幾何重?cái)?shù)小于其代數(shù)重?cái)?shù)。 A有重特征值，且 A特征值對(duì)應(yīng)的獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)小于 n。 2021/6/17 80 約當(dāng)矩陣定義： ?約當(dāng)塊 ： ?約當(dāng)矩陣 ：由約當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角線(xiàn)矩陣。 nnlAAAA????????????????~~~~ 21?nmmmliAlimmiiiii???????????????????????21),2,1(11~其中：???其中 ： 是 約當(dāng)塊塊數(shù)，等于 獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)。 即 每個(gè)約當(dāng)塊有且僅有一個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的特征向量 。 l A~由此看出，對(duì)角陣是一種特殊形式的約當(dāng)矩陣。 2021/6/17 81 說(shuō)明 ： 對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型：各狀態(tài)變量間是完全解耦的。 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：各狀態(tài)變量間最簡(jiǎn)單的耦合形式，每個(gè)變量至多和下一個(gè)變量有關(guān)聯(lián)。 條件 ： 約當(dāng)塊階數(shù) 等于特征值重?cái)?shù)的條件是 —— 對(duì)應(yīng)該重特征值的獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)為 1個(gè)，即 。每個(gè)獨(dú)立特征向量對(duì)應(yīng)一個(gè)約當(dāng)塊。 im例如 ：當(dāng)某個(gè)重特征值的重?cái)?shù)為 3，而對(duì)應(yīng)于該特征值的獨(dú)立特征向量數(shù)為 2時(shí)， 約當(dāng)塊塊數(shù)為 2。 此時(shí)： 3,221 ??? mml 且 某個(gè)重特征值對(duì)應(yīng)多個(gè)約當(dāng)塊 i?i?i?i?i?i?( ) 1in ran k I A?? ? ?2021/6/17 82 ???????DuCxyBuAxx?其中： xQx ~??????????uDxCyuBxAx~~~~~~~?DDCQCBQBAA ???? ?? ~,~,~,~ 11變換矩陣 Q的確定： 討論的前提 ： 每個(gè)重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量的情況，只有一個(gè)約當(dāng)塊。 假設(shè)系統(tǒng)有 個(gè)特征值。 l)1(~~~~ 21???????????????lAAAA?)2(),2,1(11~ljAjj mmjjjj ?????????????????????則： 的變換陣為對(duì)應(yīng)于其中 jjl AQ ~,][ 21 ??)3(2,1,][ 21 ljvvvQ jmjjj j ?? ??2021/6/17 83