線形系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合-資料下載頁(yè)
2024-12-08 11:40本頁(yè)面
【正文】 ? 1,1 11T61 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換 設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 令 式中 為非奇異線性變換矩陣，它將 變換為 ，變換后 的動(dòng)態(tài)方程為 式中 并稱(chēng)為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行變換。線性變換的目的在于使 陣規(guī)范化， 并不會(huì)改變系統(tǒng)的原有性質(zhì)，故稱(chēng)為等價(jià)變換。分析計(jì)算后， 再引入反變換關(guān)系 ，得出最終結(jié)果。 三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 1） cxybuAxx ??? ,?xPx ?P x xyxcyubxAx ???? ,?cPcbPbAPPA ??? ?? 11 ,AxPx 1??62 下面概括給出本章中常用的幾種線性變換關(guān)系。 （ 1）化陣為對(duì)角型 1）設(shè) 陣為任意形式的方陣，且有 個(gè)互異實(shí)數(shù)特征 值 ，則可由非奇異線性變換化為對(duì)角陣 。 陣由 陣的實(shí)數(shù)特征向量 組成 三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 2） n??? , 21 ?A n?????????????????nAPP????111P),2,1( nip i ??A? ?npppP ?21?63 特征向量滿足 2）若 陣為友矩陣，且有 個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值 ， 則下列的范德蒙特 矩陣 可使 對(duì)角化： 三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 3） nipAp iii ,2,1 ??? ?n??? , 21 ?A n( m o d )V a n d er e P A??????????????????????????????????????????1121122221211210111,100001000010nnnnnnnPaaaaA????????????????????????64 3）設(shè) 陣具有 重實(shí)數(shù)特征值 ，其余為 個(gè)互異 實(shí)數(shù)特征值，但在求解 時(shí)仍有 個(gè) 獨(dú)立實(shí)特征向量 ，則仍可使 陣化為對(duì)角陣 。 三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 4） A m1?)( mn ?),2,1(1 mipAp ii ??? ? mmppp , 21 ??A111100nnP AP????????????? ? ???????? ?nmm pppppP ?? 121 ??65 ????????????????????????????nmAPPJ?????????????????010111111式中 是互異實(shí)數(shù)特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。 （ 2）化 陣為約當(dāng)陣 1）設(shè) 陣具有 重實(shí)特征值 ，其余為 個(gè)互異實(shí)特 征值，但在求解 時(shí)只有一個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量 ， 只能化為約當(dāng)陣 。 三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 5） nmm ppp , 21 ???Am1? )( mn ?ii pAp 1??1pAJA66 中虛線示出存在一個(gè)約當(dāng)塊。 式中 是廣義實(shí)特征向量，滿足 是互異特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。 三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 6） J? ?nmm pppppP ?? 121 ??mppp , 32 ?? ? ? ?mmpppAppp ????211112111????????????????nm pp ,1 ??67 2）設(shè) 為友矩陣，具有 重實(shí)特征值 ，且只有一個(gè)獨(dú)立 實(shí)特征向量 ，則使 約當(dāng)化的 為 式中 3）設(shè) 陣具有五重實(shí)特征值 ，但有兩個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量 ，其余為 個(gè)互異實(shí)特征值， 陣約當(dāng)化的可 能形式是 三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 7） mA1?1p A P???????????????nmnnppppppP ?? 111112112111 ???＝? ?Tnp 112111 1 ?? ??? ?A 1?21 , pp )5( ?n A68 ?????????????????????????????????????nAPPJ??????????????????????????6111111`111三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 8） 69 中虛線示出存在兩上約當(dāng)塊，其中 （ 3）化可控系統(tǒng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型 在前面研究狀態(tài)空間表達(dá)式的建立問(wèn)題時(shí)，曾得出單輸 入線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的可控標(biāo)準(zhǔn)型： J三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 9） ?????????????npppppppP ?61222112111 ???uxxxxaaaaxxxxnnnnn?????????????????????????????????????????????????????????????????????????10001000010000101211210121???????????????70 與該狀態(tài)方程對(duì)應(yīng)的可控性矩陣 是一個(gè)右下三角陣，其主 對(duì)角線元素均為 1，故 ，系統(tǒng)一定可控，這就是形 如上式中 的稱(chēng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型名稱(chēng)的由來(lái)。其可控性矩陣 形如 三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 10） S0d et ?SbA,S? ???????????????????????????????????????????????21111110100100010000nnnnnaaaabAAbbS71 一個(gè)可控系統(tǒng)，當(dāng) 不具有可控標(biāo)準(zhǔn)型，一定可以 選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 進(jìn)行 變換，即令 變換為 要求 三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 11） bA,buAxx ???1?PzPx 1??P b uP A Pz ?? ? 1?????????????????????????????????????????1000,10000100001012101?????????PbaaaaP A Pn72 下面具體推導(dǎo)變換矩陣 ： 設(shè)變換矩陣 為 根據(jù) 陣變換要求， 應(yīng)滿足變換要求，有 展開(kāi)為 三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 12） PP? ?TTnTT pppP ?21?A P????????????????????????????????????????????????????????nnnnnppppaaaaApppp1211210121100001000010??????????73 經(jīng)整理有 三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 13） nnnnnpapapaAppAppAppAp1211013221????????????nnnpApAppApAppAp???????111321221?74 由此可得變換矩陣 又根據(jù) 陣變換要求， 應(yīng)有 即 三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 14） ?????????????? 1111nApAppP?b P?????????????????????????????????????????100111111???bAAbbpbApAppPbnn? ? ? ?10011 ?? ?? bAAbbp n75 故 該式表明 是可控性矩陣的逆陣的最后一行。于是可得出 變換矩陣 的求法如下： 1）計(jì)算可控性矩陣 ； 2）計(jì)算可控性矩陣的逆陣 ，設(shè)一般形式為 3）取出 的最后一行（即第 行）構(gòu)成 行向量 三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 （ 15） ? ? ? ? 111 100 ??? bAAbbp n??1p1?P? ?bAAbbS n 1?? ?1－S??????????????nnnnnnSSSSSSSSSS??????2122221112111n1－S 1p? ?nnnn SSSp ?211 ?76 4）構(gòu)造陣 5） 便是將非標(biāo)準(zhǔn)型可控系統(tǒng)化為可控
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