根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型-資料下載頁
2025-04-29 12:04本頁面
【正文】 ? ? ? ?? ? ? ???? ???多輸入多輸出線性系統(tǒng) (3/5) ? 故可得模擬結(jié)構(gòu)圖 ,如圖 213所示。 圖 213 系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖 多輸入多輸出線性系統(tǒng) (4/5) ? 取每個積分器的輸出為一個狀態(tài)變量 ,如圖 213所示。則式 (233)的一種狀態(tài)空間實現(xiàn)為 相應(yīng)地輸出方程為 ?????????????????24331432312322112111ubxaxaxububxaxubxxax???1123yxyx??? ??多輸入多輸出線性系統(tǒng) (5/5) ? 因此 ,該雙輸入雙輸出系統(tǒng)的矩陣形式狀態(tài)空間模型為 1 1 1 112 2 2 2 323 4 3 3 4112231 0 000001 0 00 0 1x a x bux a x b bux a a x bxyxyx?? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ????? ?? ????? ????????????非線性系統(tǒng) (1/10) 非線性系統(tǒng) ? 倒立擺系統(tǒng)是一個多變量、存在嚴(yán)重非線性的非自治不穩(wěn)定性系統(tǒng) ,經(jīng)常被用來研究和比較各種控制方法的性能。 ? 其結(jié)構(gòu)和飛機著陸、火箭飛行及機器人的關(guān)節(jié)運動等有很多相似之處 ,因而對倒立擺系統(tǒng)平衡的控制方法在航空及機器人等領(lǐng)域有著廣泛的用途 ,人們對倒立擺控制的研究也越來越感興趣。 ? 下面通過一個一級倒立擺的例子 ,來簡述對非線性系統(tǒng)來說 ,如何通過描述其動力學(xué)模型的常微分方程建立狀態(tài)空間模型。 非線性系統(tǒng) (2/10) ? 圖 214為某一級倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖。 ? m , l擺 桿小 車皮 帶電 機導(dǎo) 軌圖 214 一級倒立擺示意圖 非線性系統(tǒng) (3/10) ? 圖中所示的帶輪小車可以前后移動來平衡一根桿 ,此桿由其底部的一個支點來支撐。 ? 該系統(tǒng)中還有一個電機 ,一根連接電機與小車的皮帶和一些滑輪。 ?m , l擺 桿小 車皮 帶電 機導(dǎo) 軌? 還有一些傳感器 ,用來測量小車的速度、位置、桿底部與鉛垂線所成的角度及其微分。 ? 其控制任務(wù)是由電機通過皮帶施加合適的力 f給小車從而使桿不倒 ,并使小車不超過左右邊界。 ? 一級倒立擺有兩個運動自由度 ,一個沿水平方向運動 ,另一個繞軸轉(zhuǎn)動。 非線性系統(tǒng) (4/10) ? 解 通過對滑輪小車和擺竿的受力分析和推導(dǎo) ,且忽略交流電機的動特性并且假設(shè)交流電機由 u到 f的靜態(tài)增益為 1,得到倒立擺系統(tǒng)的動力學(xué)描述如下 : ?m , l擺 桿小 車皮 帶電 機導(dǎo) 軌其中 ?c是小車與導(dǎo)軌的摩擦系數(shù) 。 f為施加在小車水平方向上的外力 。 u為作用在驅(qū)動電機上的電壓 ,其為控制變量 。 22222222dd( ) ( c os ) sinddd d d d( ) ( c os ) sind d d dcxJ m l m l m lgttxxM m m l u m lt t t t?????? ? ??? ? ???????? ? ? ? ? ??? ???非線性系統(tǒng) (5/10) J為轉(zhuǎn)動慣量 , x為小車的水平位移 ,由與電機相連的電位計測得 。 ?m , l擺 桿小 車皮 帶電 機導(dǎo) 軌 連接的電位計測得的信號經(jīng)微分而得 。 ?為桿與垂線的夾角 ,并取順時針方向為正方向 ,由安裝在小車上并與桿的基座相連的電位計測得 。 為小車的水平速度 ,由與電機 x? 為桿轉(zhuǎn)動的角速度 ,由安裝在小車上并與桿的基座相連的電位計測得的信號經(jīng)微分而得 。 ??非線性系統(tǒng) (6/10) ? 整理上 式 ,得到 : 其中 2P J m l??2()K J M m M m l? ? ?2222 2 2 2 2 2 2 22 2 22222 2 2 2 2 2 2 22 2 2sin sin 2sin sin 2( sin )sinc os sin 2 ( ) sinsin 2( sin ) sinc ossinccP P m l m l gxxK m l K m l K m lPuK m lml m l g m lg M mxK m l K m l K m lmluK m l? ???? ? ???? ????? ? ????? ? ? ??? ? ?????? ????? ? ? ?? ? ? ???????非線性系統(tǒng) (7/10) ? 對該倒立擺系統(tǒng) ,選取狀態(tài)變量 : ? 由上 式得到該倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 ? ? ? ??? ?? ??xxzzzzz ?? 4321122 2 22 3 4 32 223342 2 23 2 3 4 3 33 2232 2 ( sin ) ( sin 2 ) 22 [ ( sin ) ]2 ( c os ) ( sin 2 ) 2 ( ) sin 2 ( c os )2 [ ( sin ) ]cczzP z P m l z z m l g z P uzK m l zzzm l z z m l g z z m lg M m z m l z uzK m l z?????? ? ? ???? ??????? ? ? ?? ????非線性系統(tǒng) (8/10) ? 由于數(shù)學(xué)方法的局限以及工程系統(tǒng)實現(xiàn)的困難 ,在進行系統(tǒng)分析與控制時 ,復(fù)雜的非線性模型將導(dǎo)致難于分析求解及控制 。 ? 因此 ,常將非線性模型在其平衡點 (工作點 )附近對其進行 Taylor級數(shù)展開至一階線性方程 ,以獲得簡化的數(shù)學(xué)模型 ,實現(xiàn)系統(tǒng)分析與控制 。 ? 這種處理也是工程中的常用方法 , ? 如若擺桿相對于垂直線的角度 ?保持足夠小 (如 ),則常有如下線性展開近似 s i n s i n 0 c o s 1? ? ? ?? ? ?或 者 ，非線性系統(tǒng) (9/10) ? 因此 ,對本例來說 ,在平衡點 ? ? ? ?1 2 3 4 0000z z z z z ? ???附近 ,非線性狀態(tài)方程的近似線性化狀態(tài)方程為 BuAzz ???其中 220 1 0 0 00 / 0,00 0 1 0()00ccPm l gPKKKABmlml m lg M mKKK???? ???? ???????? ???????? ??? ???????????非線性系統(tǒng) (10/10) 和相應(yīng)的輸出方程 : ? 至此 ,得到一級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間形式的線性化數(shù)學(xué)模型 。 z?????????????01000001x?
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