【正文】 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 目錄 (1/1) 目 錄 ? 概述 ? 狀態(tài)和狀態(tài)空間模型 ? 根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型 ? 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型 ? 狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型 ? 傳遞函數(shù)陣 ? 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 ? Matlab問題 ? 本章小結(jié) 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型 (1/2) 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型 ? 本節(jié)討論由描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動態(tài)特性的高階常微分方程與傳遞函數(shù) ,通過選擇適當?shù)臓顟B(tài)變量分別建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 ? 這樣的問題稱為系統(tǒng)的實現(xiàn)問題。 ? 這種變換過程的原則是 ,不管狀態(tài)變量如何選擇 ,應(yīng)保持系統(tǒng)輸入輸出間的動態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型 (2/2) ? 本節(jié)的內(nèi)容為： ? 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 ? 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 ? 多輸入多輸出線性系統(tǒng) ? 非線性系統(tǒng) 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 (1/1) 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 ? 本節(jié)主要討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的常微分方程建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 ,分別討論 ? 由不含輸入量導(dǎo)數(shù)項和 ? 由含輸入量導(dǎo)數(shù)項的 微分方程建立狀態(tài)空間模型。 ? 本節(jié)關(guān)鍵問題 : ? 如何選擇狀態(tài)變量 ? 保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變 關(guān)鍵喔 ! 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (1/9) 1. 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 ? 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動態(tài)行為 ,不包含有輸入量的導(dǎo)數(shù)項時的線性定系數(shù)常微分方程為 y(n)+a1y(n1)+…+ any=bu 其中 y和 u分別為系統(tǒng)的輸出和輸入 。n為系統(tǒng)的階次。 ? 這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動態(tài)系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型 狀態(tài)空間模型 ABCD???? ???x x uy x u? 本節(jié)問題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量。 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (2/9) ? 由微分方程理論知 ,若初始時刻 t0的初值 y(t0),y’ (t0),…, y(n1)(t0)已知 ,則對給定的輸入 u(t),微分方程 (26)有唯一解 ,也即系統(tǒng)在 t?t0的任何瞬時的動態(tài)都被唯一確定。 ? 因此 ,選擇狀態(tài)變量為如下相變量 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n1)(t) 可完全刻劃系統(tǒng)的動態(tài)特性。 ? 取輸出 y和 y的各階導(dǎo)數(shù) (也稱相變量 )為狀態(tài)變量 ,物理意義明確 ,易于接受。 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (3/9) ? 將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程 ,有如下狀態(tài)方程 12111.........nnn n nxxxxx a x a x b u????????? ? ? ? ? ??和輸出方程 y=x1 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (4/9) ? 將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式有 ? ?1 ` 2 10 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 1 01 0 0 0n n na a a a b???? ???? ?????? ???????? ????? ? ? ??????x x uyx12[ . . . ] , [ ] [ ]nx x x u y?? ? ?x u y其 中 和 。微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (5/9) ? 該狀態(tài)空間模型可簡記為 : 其中 ABC???? ??x x uyx]0...01[0...0...1...00............0...1011????????????????????????????CbBaaaAnn微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (6/9) ? 上述式子清楚說明了狀態(tài)空間模型中系統(tǒng)矩陣 A與微分方程 (26)中的系數(shù) a1, a2,… , an之間 ,輸入矩陣 B與方程 (26)中系數(shù) b之間的對應(yīng)關(guān)系 。 ? 通常將上述取輸出 y和 y的各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量稱為相變量 。 ? 上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式 ,該矩陣的最后一行與其矩陣特征多項式的系數(shù)有對應(yīng)關(guān)系 ,前 n1行為 1個 n1維的零向量與 (n1)?(n1)的單位矩陣 。 ? 該類矩陣稱為友矩陣 。 友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法中是一類重要的矩陣 ,這在后面的章節(jié)中可以看到 。 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (7/9) ? 上述實現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 b u? ? a 1 … ? 1 a 22 … a n 1 a n nx?u x n x n 1 x 2 x 1 y 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (8/9)例 21 ? 例 21 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型 y”’+6y”+11y’+6y=6u ? 解 本例中 a1=6 a2=11 a3=6 b=6 因此 ,當選擇輸出 y及其 1階與 2階導(dǎo)數(shù)等相變量為狀態(tài)變量時 ,由式 (211)和 (212)可得狀態(tài)空間模型如下 0 1 0 00 0 1 06 1 1 6 6[ 1 0 0 ]? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??x x uyx微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (9/9)例 21 其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示 6 ? ? 6 ? 1 112 6 3x?u x 3 x 2 x 1 y 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (1/11) 2. 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 ? 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動態(tài)行為的微分方程的一般表達式為 y(n)+a1y(n1)+…+ any=b0u(n)+…+ bnu ? 本小節(jié)所要研究的是建立上述常微分方程描述的動態(tài)系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型 狀態(tài)空間模型 ABCD???? ???x x uy x u? 建立該狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量 ? 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (2/11) ? 若按照前面的方法那樣選取相變量為狀態(tài)變量 ,即 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n1)(t) 則可得如下狀態(tài)方程 1 2 1()1 1 0.... . . . . .nnnn n n nx x x xx a x a x b u b u?????? ? ? ? ? ? ??? 根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性條件 ,要求輸入 u(t)為分段連續(xù) ,而上述狀態(tài)方程中輸入 u的各階導(dǎo)數(shù)可能不連續(xù) ,從而使微分方程解的