【正文】 ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???x x uy x u12[ . . . ] , [ ] [ ]nx x x u y?? ? ?x u y其 中 和 。 ? 因此 ,狀態(tài)方程中不應(yīng)有輸入 u的導(dǎo)數(shù)項出現(xiàn) ,即不能直接將輸出 y的各階導(dǎo)數(shù)項取作狀態(tài)變量。 ? 上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式 ,該矩陣的最后一行與其矩陣特征多項式的系數(shù)有對應(yīng)關(guān)系 ,前 n1行為 1個 n1維的零向量與 (n1)?(n1)的單位矩陣 。 ? 取輸出 y和 y的各階導(dǎo)數(shù) (也稱相變量 )為狀態(tài)變量 ,物理意義明確 ,易于接受。n為系統(tǒng)的階次。 ? 這樣的問題稱為系統(tǒng)的實現(xiàn)問題。 ? 這種變換過程的原則是 ,不管狀態(tài)變量如何選擇 ,應(yīng)保持系統(tǒng)輸入輸出間的動態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。 ? 這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動態(tài)系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型 狀態(tài)空間模型 ABCD???? ???x x uy x u? 本節(jié)問題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量。 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (3/9) ? 將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程 ,有如下狀態(tài)方程 12111.........nnn n nxxxxx a x a x b u????????? ? ? ? ? ??和輸出方程 y=x1 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (4/9) ? 將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式有 ? ?1 ` 2 10 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 1 01 0 0 0n n na a a a b???? ???? ?????? ???????? ????? ? ? ??????x x uyx12[ . . . ] , [ ] [ ]nx x x u y?? ? ?x u y其 中 和 。 ? 該類矩陣稱為友矩陣 。 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (3/11) ? 為避免狀態(tài)方程中顯示地出現(xiàn)輸入的導(dǎo)數(shù) ,通常 , ? 可利用輸出 y和輸入 u以及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合來組成狀態(tài)變量 ,其原則是 : ? 使?fàn)顟B(tài)方程中不顯含輸出 u的各階導(dǎo)數(shù)。則該高階微分方程可轉(zhuǎn)化描述為如下不含有輸入導(dǎo)數(shù)項的狀態(tài)空間模型 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (8/11) ? 上述實現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 u??? a1 … ? … an 1 an nx? xn x1 ?n u ?n 1 ?1 1?nx? x2 y ?0 1x?微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (9/11)例 22 ? 例 22 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型 y”’+5y”+8y’+4y=2u”+14u’+24u ? 解 本例中 a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24 ? 因此 ,有 ?0=b0=0 ?1=b1a1?0=2 ?2=b2a1?1a2?0 =4 ?3=b3a1?2a2?1a3?0 =12 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (10/11)例 22 ? 因此 ,當(dāng)選擇狀態(tài)變量如下時 0 1 0 20 0 1 44 8 5 1 2[ 1 0 0 ]? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??x x uyx即得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 ????????????????????uuyuuuyxuyuuyxyuyx???????????242012301201??????微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (11/11)例 22 ? 其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示 u??? 5 ? 8 4 3x? x3 x 1 12 u 4 2 2x? x2 y 1x?? 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 (1/6) 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 ? 下面討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 ? 而分子多項式階次小于分母多項式階次時 ,則稱為嚴格真有理傳遞函數(shù)。 ? 即 S G ( s ) ? ( A , B , C ) d D 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 (6/6) ? 下面分傳遞函數(shù) ? 極點互異和 ? 有重極點 兩種情況討論如何建立狀態(tài)空間模型。 傳遞函數(shù)中極點互異時的變換 (3/8) ? 考慮到 ,輸出 y(t)和輸入 u(t)的拉氏變換滿足 因此 ,若選擇狀態(tài)變量 xi(t)使其 拉氏變換滿足 則 ,經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )(...)()()()()(2211 sUssksUssksUssksUsGsYnn?????nisUsssXii ,. .. ,2,1)(1)( ??1 , 2 , . . . ,i i ix s x u i n? ? ?傳遞函數(shù)中極點互異時的變換 (4/8) ? 相應(yīng)地 ,系統(tǒng)輸出 y(t)的拉氏變換為 Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+…+ knXn(s) 因此 ,經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程 y=k1x1+k2x2+…+ knxn ? 整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下狀態(tài)空間模型 12120 ... 0 10 ... 0 1... ... ... ... ...0 0 ... 1[ ... ]nnsssk k k?? ???? ???? ?????? ???? ???????x x uyx傳遞函數(shù)中極點互異時的變換 (5/8) ? 上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個重要特征 ,即 A為對角線矩陣。 ? 即 ,狀態(tài)空間模型不具有唯一性。 傳遞函數(shù)中有重極點時的變換 (3/13) ? 下面以系數(shù) k13的計算公式的推導(dǎo)為例來說明 kij的計算式 ? 將 G(s)的乘以 (ss1)3 ,有 321 1 1 1 2 1 1 3 135 1 5 241124 5 5( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) G s s s k k s s k s skkksss s s s s s? ? ???? ? ?????1231 3 121d [ ( ) ( ) ]2 ! d ssk G s s ss ??第 2項將 s1代入為 0。 ? 事實上 , 約旦規(guī)范形是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為多個子系統(tǒng) (慣性環(huán)節(jié) )的串 并聯(lián)。 ? 設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為 ???????????241423223121122111ubyayayubububyayay?????? 同 SISO系統(tǒng)一樣