【正文】 ?????????????????????????????????????????????000001100113211122321??????????????321)001(xxxy 由上可知，根據(jù)直接程序法、并接程序法、串接程序法列寫 系統(tǒng)的狀態(tài)方程時(shí)，由于選擇的狀態(tài)變量不同，即它們的物理含 義是不同的。因此，系統(tǒng)的狀態(tài)方程及其輸出方程的形式是不同 的。但當(dāng)系統(tǒng)在同一輸入函數(shù)作用下，所得的輸出時(shí)域特性是完 全相同的。 由系統(tǒng)方框圖直接列寫狀態(tài)方程及其輸出方程 上述兩種列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程及其輸出方程的方法是以系統(tǒng)微 分方程或以系統(tǒng)傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的，而在線性控制系統(tǒng)中，它的 數(shù)學(xué)模型常以系統(tǒng)方框圖的形式給出的，這是由于系統(tǒng)方框圖形 象地描述系統(tǒng)信號(hào)流向及其各物理量之間的相互關(guān)系。當(dāng)然，根 據(jù)系統(tǒng)方框圖，求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)拉普拉斯反變 換同樣可求得系統(tǒng)微分方程，根據(jù)系統(tǒng)微分方程或系統(tǒng)閉環(huán)傳 遞函數(shù)列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程及其輸出方程，這對(duì)于簡(jiǎn)單的控制系統(tǒng) 來(lái)說(shuō)是容易做到的，但對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)或多輸入多輸出系統(tǒng)來(lái)說(shuō)， 求取閉環(huán)傳遞函數(shù)并不是一件輕而易舉的事，有的甚至很難求 得。因而需要研究直接利用系統(tǒng)方框圖列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程及其輸 出方程的方法。 為了直接利用系統(tǒng)方框圖列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程及其輸出方程， 需要引進(jìn)兩個(gè)方程，稱之為狀態(tài)傳遞方程及狀態(tài)反饋方程。引進(jìn) 上述兩個(gè)方程之后，將使問(wèn)題得以極大的簡(jiǎn)化，避免了一些不必 要的錯(cuò)誤發(fā)生。下面以具體實(shí)例加以說(shuō)明。 例 設(shè)某儀表隨動(dòng)系統(tǒng)，其方框圖如圖 ，試直 接由系統(tǒng)方框圖列寫系統(tǒng)狀 態(tài)方程及其輸出方程。 解 對(duì)于這個(gè)較為簡(jiǎn)單 的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，求取其閉環(huán)傳 遞函數(shù)并不是件難事，但為 了說(shuō)明問(wèn)題，這里采用直接 利用系統(tǒng)方框圖列寫系統(tǒng)狀 態(tài)方程及其輸出方程的方法。 圖 儀表隨動(dòng)系統(tǒng)方框圖 由系統(tǒng)方框圖，直接可以得到 其微分方程為 取系統(tǒng)狀態(tài)變量 ，則系統(tǒng)狀態(tài)方程可列寫為 式中， 稱為狀態(tài)反饋方程，代入系統(tǒng)狀態(tài)方程 中并寫成矩陣狀態(tài)微分方程形式得 其輸出方程為 )4(10)()(?? ssssY?yxyx ??? 21 ,2221 410 xex xx ?????1xuyu ?????uxxxx ????????????????????????????????????100410102121??? ? 11210 xyx x???? ????4 1 0yy ???221 0 4xx??? 例 某液壓控 制系統(tǒng)由下述方框圖 描述，試根據(jù)系統(tǒng)方 框圖直接列寫系統(tǒng)狀 態(tài)方程及其輸出方程。 解 為簡(jiǎn)化狀態(tài) 方程的列寫，在圖中 引進(jìn)變量 （如圖所示），則根 據(jù)系統(tǒng)方框圖，可得各方框的傳遞函數(shù)為 其微分方程為 選取狀態(tài)變量 ，則系統(tǒng)狀態(tài)方程為 圖 液壓控制系統(tǒng)方框圖 n1u , eye1)()(11u1?? sTKsEsY)1()()(22n ?? sTs KsE sY1 1 1 1 u2 2 nT y y K eT y y K e????yxyxyx ???? 3211 ,、 、n1u , ey n1u , ey 系統(tǒng)狀態(tài)反饋方程為 系統(tǒng)狀態(tài)傳遞方程為 將上述系統(tǒng)狀態(tài)反饋方程及其狀態(tài)傳遞方程代入狀態(tài)方程中 并寫成矩陣形式為 輸出方程為 1 1 u 11233 2 n 321 ()1 ()x K e xTxxx K e xT?????2u xuyue ????nxnye ???? 11n?????????????????????????????????????????????????????????????nuTKTKxxxTTKTKTxxx221132122211132100001010001???? ?12230 1 0xy x xx????????????1 1 u 11233 2 n 321 ()1 ()x K e xTxxx K e xT?????1 1 u 11233 2 n 321 ()1 ()x K e xTxxx K e xT????? 例 復(fù) 合控制系統(tǒng)如圖 ，試直接 利用系統(tǒng)方框圖 列寫系統(tǒng)狀態(tài)方 程及其輸出方程。 解 由系統(tǒng) 方框圖可知，該 系統(tǒng)由三個(gè)基本 方框組成，可分別寫成 其微分方程 選取狀態(tài)變量 ，則系統(tǒng)狀態(tài) 圖 復(fù)合控制系統(tǒng)方框圖 sssEsYssEsYssUsF23)()(,22)()(,11)()(2fu1??????fu11 32,22, eyyeyyUff ?????? ?????yxyxyxfx ????? 43121 ,方程為 狀態(tài)反饋方程為： ，狀態(tài)傳遞方程為： 代入寫成矩陣形式為 輸出方程為 4f4432u2112322xexxxxexxux???????????3u xue ?? 21f xxe ??uXX??????????????????????????????????00212033100002200001?? ? Xxy 01003 ??uXX?????????????????????????????????00212033100002200001?X X) X 例 某順饋控制系統(tǒng)，其方框圖如下 試根據(jù)系統(tǒng)方框圖直接列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程及其輸出方程。 圖 順饋控制系統(tǒng)方框 解 由系統(tǒng)方框圖直接可得 其微分方程分別為 選取系統(tǒng)狀態(tài)變量為 則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 狀態(tài)傳遞方程為 11)()(,21)()(,2)()(,1)()( 322fu1??????? ssFsYssFsYsssEsYssEsYfyyfyyeyyey ??????? 3322fu1 ,2,2, ??????35243211 , yxyxyxyxyx ????? ?55443f332u122xfxxfxxexxxex????????????? 狀態(tài)反饋方程為 代入系統(tǒng)狀態(tài)方程中并寫成矩陣狀態(tài)微分方程形式為 系統(tǒng)輸出方程為 非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程及其輸出方程 非線性系統(tǒng)包括本征非線性和典型非線性系統(tǒng)兩類，典型非 41f xxe ??25u xxue ?????????????????????????????????????????????????fuXX10100000011000002022021020010010010?? ?2 0 1 0 0 0y x X?? ??????????????????????????????????????????????fuX10100000011000002022021020010010010?X XX線性系統(tǒng)是指在系統(tǒng)中包括有例如飽和非線性、滯環(huán)非線性等的 控制系統(tǒng)。這些非線性特性一般來(lái)說(shuō)，給控制系統(tǒng)的性能帶來(lái)不 利的影響。但根據(jù)實(shí)際情況，有時(shí)為了改善系統(tǒng)性能而人為地加 入一些非線性特性，例如一種帶有飽和非線性特性的自適應(yīng)控制 系統(tǒng)，它是為了提高自適應(yīng)控制系統(tǒng)的魯棒性而加入的。而本征 非線性是指控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng) 微分方程中包含有變量的 乘方、開方或以變量為分 母等的系統(tǒng)。下面以具體 實(shí)例，介紹非線性系統(tǒng)的 狀態(tài)方程及其輸出方程的 列寫方法。 1. 典型非線性系統(tǒng) 的狀態(tài)方程及其輸出方程 圖 帶有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)方框圖 例 設(shè)含有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)，其方框圖如 圖 。圖中飽和非線性特性的數(shù)學(xué)模型為 試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程及其輸出方程。 解 由圖 ，該控制系統(tǒng)包括有線性部分與非線性 部分，在列寫狀態(tài)方程時(shí)，可以將線性部分和非線性部分加以分 別處理。 對(duì)于線性部分，其傳遞函數(shù)為 微分方程為 )1()()(?? TssksXsY? ?? ?? ?000e e ex M e eM e e? ?????????? ??? ?? ???? ?? ? ???≤ 取狀態(tài)變量為 ，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程及其輸出方程 分別可寫成 狀態(tài)方程中的 是飽和非線性部分的輸出，它的值由系統(tǒng)偏差的大小來(lái)決定，即由系統(tǒng)狀態(tài)反饋方程來(lái)決定，其狀態(tài)反饋方程 為 由飽和非線性特性的數(shù)學(xué)模型得 kxyyT ?? ???yxyx ??? 21 ,Txkxxxx 1)( 2221?????x e1xuyue ????? ?? ?? ?1 1 01010u x u x ex M u x eM u x e? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ???? ?10u x e≤? ?? ?? ?1 1 01010u x u x ex M u x eM u x e? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ???Txkxx1)(2221?????1yx? 例 設(shè) 含有滯環(huán)非線性 特性的控制系統(tǒng) 方框圖如圖 所示，其特性曲 線如圖 。 滯環(huán)非線性 特性的數(shù)學(xué)表達(dá) 式為 試列寫其狀態(tài)方程及輸出方程。 圖 含有滯環(huán)非線性特性控制系統(tǒng) a) ? ?