維納濾波和卡爾曼濾波(1)-資料下載頁(yè)
2025-05-13 23:09本頁(yè)面
【正文】 運(yùn)算，最終到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，即維納濾波狀態(tài)。 ? 設(shè)初始值： ? 計(jì)算 ? 和 便成為下一輪迭代運(yùn)算的已知數(shù)據(jù)。在遞推運(yùn)取過程中，隨著迭代次數(shù) n的增加， 將逐漸下降，直到最終趨于某個(gè)穩(wěn)定值 。這時(shí) ? 合理選擇初始值問題。 都可作為初值。 ? 的合理選擇應(yīng)使 最小化。 ? 為此： )0()00(? ?和s)11(?)1()1( 1 sGP ?)1(? )11(?s)(n????? ??? )1()( nn)00(?)0(1 sG ?)00(?s )0(?0)]00(?)0([2)00(? )0( ?????? ssEs? ? 選擇：應(yīng)使 最小 RaQccQG)1( 221????)]0([)0|0(? sEs ??1G)1(?? ? 在實(shí)際中，常需根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)同時(shí)估計(jì)若干個(gè)信號(hào)。例如q個(gè)信號(hào)， 或者估計(jì)一個(gè)高階自回歸過程。 ? 例如：一個(gè) q階自回歸過程 ? 對(duì)于上述兩種情況，把標(biāo)量卡爾曼推廣到矢量，可以給分析計(jì)算帶來很大方便。 ? ? 同時(shí)估計(jì)相互獨(dú)立的 q個(gè)一階自回歸信號(hào)，它們?cè)?n時(shí)刻的取樣值分別為 。每個(gè)信號(hào)的狀態(tài)方程是： qsss ....21)()()(1nwinsansqni ??? ??)(. . . .)()( 21 nsnsns qqinwnsans iiii ...2,1)()1()( ????? 是零均值的噪聲序列。它們之間可以是相關(guān)的。 ? 構(gòu)成一個(gè) q維矢量 ? 則 q個(gè)方程可以簡(jiǎn)化為一個(gè)矢量方程 )()1()( nwnAsns ???)(1 nwTqTqnwnwnwnwnsnsnsns)]() . . .()([)()]() . . .(),([)(2121???????????????qaaaaA. . . . . .00. . .0. . .000. . .000. . .00321? 另一種情況，雖然被估計(jì)的只有一個(gè)信號(hào) ，但它是一個(gè)高階自回歸過程。也可化成一階矢量方程。 ? 設(shè)在 n時(shí)刻同時(shí)測(cè)得： k個(gè)數(shù)據(jù) ? 它們與 的關(guān)系為 ? 數(shù)據(jù)矢量： ? 噪聲矢量： ? 則 k個(gè)測(cè)量方程可簡(jiǎn)化成一個(gè)矢量方程 )(ns)()()( nvncsnx ??)() . . .()( 21 nxnxnx k)(nsikinvnsx iiii . . .2,1)()()( ???Tk nxnxnxnx )]() . . .()([)( 21?Tk nvnvnvnv )]() . . .()([)( 21?? C是一個(gè) k*q矩陣 ? ? 與標(biāo)量卡爾曼濾波器遞推計(jì)算公式的推導(dǎo)過程類似，可以導(dǎo)出矢量卡爾曼濾波器的相應(yīng)公式。但是，考慮到矢量運(yùn)算與標(biāo)量運(yùn)算之間存在著以下對(duì)應(yīng)關(guān)系： ?????????????0...00...0...000...0021kcccc2211: ( )TTa b a b ab a a b abA B A B AB AA ABA A B ?? ???標(biāo) 量 和 ：矩 陣 和可以直接由標(biāo)量卡爾曼濾波器的一組遞推計(jì)算公式類比寫出矢量卡 爾曼濾波器的公式，則有 維納濾波和卡爾曼濾波的計(jì)算和應(yīng)用舉例 維納濾波器 例 已知信號(hào)模型為 ，測(cè)量模型為 ，這里 和 都是均值為零的白噪聲，其方差分別為 1， 與 和 都不相關(guān)。現(xiàn)設(shè)計(jì)一因果 IIR維納濾波器處理 ，以得到對(duì) 的最佳估計(jì)。求該濾波器的傳輸函數(shù)和差分方程。 1? ? ?( | ) ( ) ( 1 | 1 ) [ ( ) ( ) ( ) ( 1 | 1 ) ]( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] ( )nTTTns n n A n s n n G x n A n c n s n nP n A n n A n Q nG P n C n C n P n C n R nn I C n G n P n???? ? ? ? ? ? ???? ? ??????? ???( ) ( 1 ) ( )s n s n n?? ? ? ( ) ( ) ( )x n s n n???()n? ()n? ()n?()sn ()n? ()xn()sn解 根據(jù)信號(hào)模型和測(cè)量模型方程可看出下列參數(shù)值：a=1,c=1,Q=,R= Ricatti方程 得 解此方程得 P=1或 P=，取正解 P=1. 再計(jì)算維納增益 G和參數(shù) f： 22a R PQPR c P?? ? 1 PP P?? ?2210 .51110 .511cpGR c PRafR c P? ? ???? ? ???故得因果 IIR維納濾波器的傳輸函數(shù)和差分方程分別為： 卡爾曼濾波器 例 已知信號(hào)模型為 ，測(cè)量模型為 ， 初始條件為 。計(jì)算標(biāo)量卡爾曼濾波器和參數(shù)值。 解 將 a=,c=1,Q=,R=1等效值代入 推導(dǎo)中，得到 11()1 1 ? ?( ) ( 1 ) ( )cGHzfz zs n s n x n??????? ? ?( ) ( 1 ) ( )s n s n n?? ? ? ( ) ( ) ( )x n s n n???[ ( ) ( ) ] 0 .3 6 , [ ( ) ( ) ] , [ ( ) ( ) ] 0 , [ ( ) ( ) ] 0ni niE n i E n i E n s i E n i? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??( 0) 1 , ( 1 | 1 ) 0s? ? ? ? ?200? ? ?( | ) ( 1 | 1 ) ( ) [ ( ) ( 1 | 1 ) ]( ) ( 1 ) ()()1 ( )( ) [ 1 ( ) ] ( ) 0s n n s n n G n x n s n nP n nPnGnPnn G n P n????? ? ? ? ? ? ?? ? ?????? ? ?根據(jù)公式求得 最后，求得 ，這是均方誤差最后趨近的穩(wěn)定值。 從初始條件 和 開始，通過依次計(jì)算，并考慮到最 后的解，不斷迭代，計(jì)算結(jié)果列于下表 。 ( ) ( )( ) [ 1 ] ( ) ( )1 ( ) 1 ( )P n P nn P n G nP n P n? ? ? ? ???0 ? ?(0) 1? ? ?( 1 | 1) 0s ? ? ?
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