【正文】 從初始條件 和 開始，通過依次計算，并考慮到最 后的解，不斷迭代，計算結(jié)果列于下表 。計算標量卡爾曼濾波器和參數(shù)值。求該濾波器的傳輸函數(shù)和差分方程。但是，考慮到矢量運算與標量運算之間存在著以下對應(yīng)關(guān)系： ?????????????0...00...0...000...0021kcccc2211: ( )TTa b a b ab a a b abA B A B AB AA ABA A B ?? ???標 量 和 ：矩 陣 和可以直接由標量卡爾曼濾波器的一組遞推計算公式類比寫出矢量卡 爾曼濾波器的公式，則有 維納濾波和卡爾曼濾波的計算和應(yīng)用舉例 維納濾波器 例 已知信號模型為 ，測量模型為 ，這里 和 都是均值為零的白噪聲，其方差分別為 1， 與 和 都不相關(guān)。也可化成一階矢量方程。它們之間可以是相關(guān)的。 ? ? 同時估計相互獨立的 q個一階自回歸信號，它們在 n時刻的取樣值分別為 。例如q個信號， 或者估計一個高階自回歸過程。 ? 的合理選擇應(yīng)使 最小化。這時 ? 合理選擇初始值問題。 ? 設(shè)初始值： ? 計算 ? 和 便成為下一輪迭代運算的已知數(shù)據(jù)。 ? 均方誤差： ? ? 0)()1()]1(?)()[( ?????? RGnPcGnsxneE nn)(nv )(1 ne22)()()(cnPRcnPcRncPG n????)(nP)(nPnG? ?)]()([)](?)()[()]([)( 2nsneEnnsnsneEneEn????? ? 由于 ? 與 不相關(guān)，得到 ? 由于利用了新息對信息預(yù)測值進行了修正，故最小均方誤差比預(yù)測誤差功率低一個數(shù)值 ? 求： )]()([1)( nvneE ?? ?)()()( nvncsnx ??)]()([)]()([0)]()([ nvneEnsnecEnxneE ????)(nv )(1 neRGcn n1)( ??)(]1[)( nPcGn n??? ?)(nPcG nQnanP ??? )1()( 2? )]([ 2 nwEQ ?? 得到卡爾曼遞推算法。 ? 相應(yīng)均方誤差最小： ? 按最小均方誤差準則來求最佳修正系數(shù) ? 求 對 的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零。 ? （ 1）假設(shè)已知 ，對 進行預(yù)測最佳估 計值為： ? （ 2）由 ，對測量值 作預(yù)測最佳測量值 為： ? （ 3）當 到來后，將預(yù)測值 與 進行比較得到預(yù)測誤差： )]11(?)([)11(?)(? ??????? nnscanxGnnsanns)11(? ?? nns )(ns)11(?)1(? ???? nnsanns)1(? ?nns )(nx)11(?)1(?)1(? ?????? nnscannsnx)(nx )1(? ?nnx )(nx)11(?)()1(?)()( ??????? nnscanxnnxnxn?? 代表 中所含的無法預(yù)測的信息，稱為新息。 ? （ 2）用 代替 表示用 ? 對 作的最佳估計。 ? 卡爾曼濾波實際上只不過是維納濾波的一種遞推計算方法。 )0()1() . . .1(),( xxnxnx ?)(zH )(nh? 從信號模型建立來看： ? 維納的信號模型是從信號與噪聲的相關(guān)函數(shù)得到。 ? 下面推導(dǎo)卡爾曼過濾的模型。 ? 在討論維納濾波中，曾提出一個基本概念，那就是任何具有有理功率譜密度的隨機信號都可看作是白色噪聲通過一個線性網(wǎng)絡(luò)所形成。而它的解是以估計的形式給出的。 ? 卡爾曼濾波：不需要全部過去的觀察數(shù)據(jù)，它只是根據(jù)前一個估計值和最近一個觀察值來估計信號的當前值。 ? 維納濾波是根據(jù)全部過去的觀察數(shù)據(jù) 來估計信號的當前值，它的解是以均方誤差最小條件下所得到的系統(tǒng)的傳輸函數(shù) 或單位取樣響應(yīng) 的形式給出的。 ? )()1()( nwnasns ???)(ns)(nx)()()( 12 ?? zBzBzS xx ??)(nv )()()( nvncsnx ??2?? 2v? )(zAfaRv ??222?? ???)(nv)(zB )(zA fz ?0)(zA)(nw) ( z B ? ? 卡爾曼濾波和維納濾波一樣都是解決以最小均方誤差為準則 的最佳線性過濾問題。 模型中， 模型中，用方差為 的白噪聲 激勵傳輸函數(shù)為 的線性移不變系統(tǒng)產(chǎn)生輸出 ()sn ()xn()sn??()wn ()snc()Az()vn()xn11()1Az az ?? ?( ) ( ) ( )x n c s n v n??()xn2?? ()n? ()Bz()xn()n? ()xn()BZ111()1fzBzaz?????? 模型為 ? ? 的模型由譜分解定理確定 ? 可看出測量模型是由噪聲 引入 使得 不同于 ， 不同于 ? 比 多出一個零點 ，這就是說如已知噪聲 的存在改變了激勵源 的功率?，F(xiàn)在要設(shè)計一個因果 IIR維納濾波器，對 進行處理，以得到最佳估計 。 ? 為什么說維納濾波器具有從噪聲中提取有用信號的能力。 ? 對非因果 IIR ? zdzzSzHzSjzdzzSzSjzdzzSjnsxo p tssssssse?????????)]()()([21)]()([21)(21)(1?m i n????)()()(zSzSzHxxxstpo ? ? （ 2）在時域?qū)?yīng) FIR（一般已求得 ） ? 設(shè)計 FIR時，需要已知 自相關(guān)和 ? 設(shè)計 IIR時，需要已知 自功率譜和 互功率譜或者說已知 和