【導讀】1．已知雙曲線的離心率為2，焦點是(4,0)?，(4,0)，則雙曲線方程為。的焦點為F，準線為l，經(jīng)過F且斜率為3的直線。與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，AKl?23)，∴△AKF的面積是43，選C。的焦點，A是拋物線上的一。若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2=90º，解．已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，∴2ab?的兩個焦點，A和B是以O為圓心，ABF2是等邊三角形，連接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，≤，則該橢圓離心率的取值范圍是（）。的焦點為1F，2F，兩條準線與x軸的交點分別為MN，，，該橢圓離心率e≥22，取。解析：右焦點即圓心為（5，0），一漸近線方程為xy34?）的左、右焦點，若在其右

　　

【正文】 ??? ， ≤ ≤， 0122 ?? cb? ， ? 2||PM 的最小值只能在 0?x 或 cx ?? 處取到． 即當 PM 取得最小值 時， P 在點 12BB， 或 1A 處． （ 3） |||| 21 MAMA ?? ，且 1B 和 2B 同時位于“果圓”的半橢圓 22 1 ( 0 )xy xab?? ≥和半橢圓 22 1 ( 0 )yx xbc?? ≤上，所以，由（ 2）知，只需研究 P 位于“果圓”的半橢圓221 ( 0)xy xab?? ≥ 上的情形即可． 2222|| ycaxPM ??????? ??? 22222222224 )(4 )(2 )( c caacabc caaxac ??????????? ???． 當 22()2a a cxac?? ≤，即 2ac≤ 時， 2||PM 的最小值在22 2 )( c caax ?? 時取到， 此時 P 的橫坐標是222 )(c caa ? ． 當 ac caax ???22 2 )( ，即 ca 2? 時，由于 2||PM 在 ax? 時是遞減的， 2||PM 的最小值在 ax? 時取到，此時 P 的橫坐標是 a ． 綜上所述，若 2ac≤ ，當 || PM 取得最小值時，點 P 的橫坐標是222 )(c caa ? ；若 ca 2? ，當 ||PM 取得最小值時，點 P 的橫坐標是 a 或 c? ． （ 陜西文 22） (本小題滿分 14 分 )已知橢圓 C:2222 byax ? =1(a＞ b＞ 0)的離心率為 36 ,短Linsd68 整理 第 26 頁，共 52 頁 軸一個端點到右焦點的距離為 3 . (Ⅰ )求橢圓 C 的方程 。 (Ⅱ )設直線 l 與橢圓 C 交于 A、 B 兩點，坐標原點 O 到直線 l 的距離為 23 ，求△ AOB 面積的最大值 . 解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為 c ，依題意 633caa? ??????， 1b??， ?所求橢圓方程為 2 2 13x y??． （Ⅱ）設 11()Ax y， ， 22()B x y， ． （ 1）當 AB x⊥ 軸時， 3AB? ． （ 2）當 AB 與 x 軸不垂直時， 設直線 AB 的方程為 y kx m??． 由已知2321mk ?? ，得 223 ( 1)4mk??． 把 y kx m??代入橢圓方程，整理得 2 2 2( 3 1 ) 6 3 3 0k x k m x m? ? ? ? ?， 12 2631kmxx k?? ? ? ?， 212 23( 1)31mxx k ?? ?． 2 2221(1 ) ( )A B k x x? ? ? ? 2 2 222 2 23 6 1 2 ( 1 )(1 ) ( 3 1 ) 3 1k m mk kk???? ? ??????? 2 2 2 2 22 2 2 21 2 ( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( 1 ) ( 9 1 )( 3 1 ) ( 3 1 )k k m k kkk? ? ? ? ????? 242 2212 12 123 3 ( 0) 3 419 6 1 2 3 696k kkk k k? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ≤． 當且僅當 2219k k?，即 33k?? 時等號成立．當 0k? 時， 3AB? ， 綜上所述 max 2AB ? ． Linsd68 整理 第 27 頁，共 52 頁 ?當 AB 最大 時， AOB△ 面積取最大值m a x1 3 32 2 2S A B? ? ? ?． 1（ 山東理 21）（本小題滿分 12 分） 已知橢圓 C 的中心在坐標原點，焦點在 x 軸上，橢圓 C 上的點到焦點距離的最大值為 3 ，最小值為 1． （ Ⅰ ）求橢圓 C 的標準方程； （ Ⅱ ）若直線 :l y kx m??與橢圓 C 相交于 A ， B 兩點（ AB， 不是左右頂點），且以 AB為直徑的圓過橢圓 C 的右 頂點，求證：直線 l 過定點，并求出該定點的坐標． 【標準答案】 (I)由題意設橢圓的標準方程為 22 1( 0)xy abab? ? ? ? 3, 1a c a c? ? ? ?， 22, 1, 3a c b? ? ? ? ? ? (II)設 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，由 22143y kx mxy????? ????得 2 2 2( 3 4 ) 8 4( 3 ) 0k x m k x m? ? ? ? ?， 2 2 2 264 16( 3 4 ) ( 3 ) 0m k k m? ? ? ? ? ?， 223 4 0km? ? ?. 21 2 1 2228 4( 3 ),.3 4 3 4m k mx x x xkk ?? ? ? ? ??? 22221 2 1 2 1 2 1 2 23 ( 4 )( ) ( ) ( ) .34mky y k x m k x m k x x m k x x m k?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 以 AB 為直徑的圓過橢圓的右頂點 (2,0),D 1AD BDkk? ?? ， 1212 122yyxx? ? ? ???， 1 2 1 2 1 22( ) 4 0y y x x x x? ? ? ? ?， 2 2 22 2 23 ( 4 ) 4( 3 ) 16 403 4 3 4 3 4m k m m kk k k??? ? ? ?? ? ?， 227 1 6 4 0m m k k? ? ?，解得 Linsd68 整理 第 28 頁，共 52 頁 12 22, 7km k m? ? ? ?，且滿足 223 4 0km? ? ?. 當 2mk?? 時， : ( 2)l y k x??，直線過定點 (2,0), 與已知矛盾； 當 27km?? 時， 2: ( )7l y k x??，直線過定點 2( ,0).7 綜上可知，直線 l 過定點，定點坐標為 2( ,0).7 1（ 全國 2 理 20） （本小題滿分 12 分）在直角坐標系 xOy 中，以 O 為圓心的圓與直線34xy??相切． （ 1）求圓 O 的方程； （ 2）圓 O 與 x 軸相交于 AB， 兩點，圓內(nèi)的動點 P 使 PA PO PB， ， 成等比數(shù)列，求PAPB 的取值范圍． 解：（ 1）依題設，圓 O 的半徑 r 等于原點 O 到直線 34xy??的距離， 即 4 213r ???． 得圓 O 的方程為 224xy??． （ 2）不妨設 1 2 1 2( 0 ) ( 0 )A x B x x x?， ， ， ，．由 2 4x? 即得 ( 2 0) (2 0)AB? ， ， ， ． 設 ()Px y， ，由 PA PO PB， ， 成等比數(shù)列，得 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 )x y x y x y? ? ? ? ? ?， 即 222xy??． ( 2 ) ( 2 )P A P B x y x y? ? ? ? ? ?， ， 22242( 1).xyy? ? ??? 由于點 P 在圓 O 內(nèi) ，故 2222? ???? ????， 由此得 2 1y? ． Linsd68 整理 第 29 頁，共 52 頁 所以 PAPB 的取值范圍為 [ 20)?， ． 1（ 全國 1 理 21）（本小題滿分 12 分） 已知橢圓 22132xy??的左、右焦點分別為 1F ， 2F ．過 1F 的直線交橢圓于 BD， 兩點，過 2F的直線交橢圓于 AC， 兩點，且 AC BD? ，垂足為 P ． （ Ⅰ ）設 P 點的坐標為 00()xy， ，證明： 2202032xy??； （ Ⅱ ）求四邊形 ABCD 的面積的最小值． 證明： （ Ⅰ ）橢圓的半焦距 3 2 1c ? ? ? ， 由 AC BD⊥ 知點 P 在以線段 12FF 為直徑的圓上，故 22020xy??， 所以， 2 2 22 0 0 02 1 13 2 2 2 2y x yx ? ? ? ?≤ ． （Ⅱ）（?。┊?BD 的斜率 k 存在且 0k? 時， BD 的方程為 ( 1)y k x??，代入橢圓方程22132xy??，并化簡得 2 2 2 2( 3 2) 6 3 6 0k x k x k? ? ? ? ?． 設 11()B x y， ， 22()D x y， ，則 212 2632kxx k? ? ? ?， 212 23632kxx k ?? ? 22 2 21 2 2 2 1 2 24 3 ( 1 )1 ( 1 ) ( ) 4 32 kB D k x x k x x x x k ???? ? ? ? ? ? ? ??? ?； 因為 AC 與 BC 相交于點 P ，且 AC 的斜率為 1k? ， 所以， 222214 3 14 3 ( 1 )1 2332kkACkk?????????????． 四邊形 ABCD 的面積 2 2 2 2222 221 24 ( 1 ) ( 1 ) 962 ( 3 2)( 2 3 ) 25( 3 2) ( 2 3 )2kkS BD ACkk kk? ?? ?? ? ??? ??? ? ?????≥． Linsd68 整理 第 30 頁，共 52 頁 當 2 1k? 時，上式取等號． （ⅱ）當 BD 的斜率 0k? 或斜率不存在時，四邊形 ABCD 的面積 4S? ． 綜上，四邊形 ABCD 的面積的最小值為 9625 ． 1（ 寧夏理 19） （本小題滿分 12 分） 在平面直角坐標系 xOy 中，經(jīng)過點 (0 2)， 且斜率為 k 的直線 l 與橢圓 2 2 12x y??有兩個不同的交點 P 和 Q ． （ I）求 k 的取值范圍； （ II）設橢圓與 x 軸正半軸、 y 軸正半軸的交點分別為 AB， ，是否存在常數(shù) k ，使得向量OP OQ? 與 AB 共線？如果存在，求 k 值；如果不存在，請說明理由． 解：（ Ⅰ ）由已知條件，直線 l 的方程為 2y kx?? ， 代入橢圓方程得 2 2( 2 ) 12x kx? ? ?． 整理得 221 2 2 1 02 k x k x??? ? ? ????? ① 直線 l 與橢圓有兩個不同的交點 P 和 Q 等價于 2 2 218 4 4 2 02k k k??? ? ? ? ? ? ?????， 解得 22k?? 或 22k? ．即 k 的取值范圍為 22? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ，∞ ∞． （ Ⅱ ）設 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ，則 1 2 1 2()O P O Q x x y y? ? ? ?， 由方程 ① ，12 24212kxx k? ? ? ?． ② 又 1 2 1 2( ) 2 2y y k x x? ? ? ?． ③ 而 ( 2 0 ) ( 0 1 ) ( 2 1 )A B A B ??， ， ， ， ，． 所以 OP OQ? 與 AB 共線等價于 1 2 1 22 ( )x x y y? ? ? ?， 將 ②③ 代入上式，解得 22k? ． Linsd68 整理 第 31 頁，共 52 頁 由（ Ⅰ ）知 22k?? 或 22k? ，故沒有符合題意的常數(shù) k ． 1（ 遼寧理 20） （本小題滿分 14 分） 已知正三角形 OAB 的三個頂點都在拋物線 2 2yx? 上，其中 O 為坐標原點，設圓 C 是 OAB的內(nèi)接圓（ 點 C 為圓心） （ I）求圓 C 的方程； （ II）設圓 M 的方程為 22( 4 7 c os ) ( 7 c os ) 1xy??? ? ? ? ?，過圓 M 上任意一點 P 分別作圓 C 的兩條切線 PE PF， ，切點為 EF， ，求 CECF， 的最大值和最小值． 本小題主要考查平面向量，圓與拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基本知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．滿分 14 分． （ I）解法一：設 AB， 兩點坐標分別為 2112y y??????， 2222y y??????，由題設知 2 2 22 2 2 22 2 21 1 1 22 2 1 2()2 2 2 2y y y yy y y y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?． 解得 221212yy??， 所