一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限-資料下載頁
2024-08-21 20:25本頁面
【導(dǎo)讀】摘要:本文討論了一類遞推數(shù)列1()nnxfx??的單調(diào)性與收斂性問題,同時(shí)也。推廣與包含了近期一些文獻(xiàn)中的結(jié)果.大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題中,在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位.示這類試題的背景與思想方法.,則稱0x為()fx的不。定義2對于函數(shù)()fx,若數(shù)列??命題1設(shè)函數(shù)()fx在[,]ab上連續(xù),在(,)ab上可導(dǎo),且'()0fx?證明只需證明數(shù)列??nx單調(diào)有界,可用歸納法證之.時(shí),結(jié)論成立,即。條件,易知數(shù)列??定義,對于命題1中的數(shù)列{}nx,b必為其上確界.任給0??,按上確界的定義,存。在數(shù)列{}nx中的某一項(xiàng)Nx,使得Nbx???.又由{}nx的遞增性,當(dāng)nN?確定的兩個(gè)子列??2nx分別是單調(diào)的,而且具有。用歸納法可得奇數(shù)項(xiàng)子列??nx收斂,且收斂于l,其中。時(shí),由于l是函數(shù)()fx唯一的一個(gè)正的不動點(diǎn),時(shí),分別在區(qū)間1[,]xl與1[,]lx上應(yīng)用命題。下面我們給出以上命題的一些應(yīng)用.
【正文】 x ???, , 顯然 有 13xx? , 從而 根據(jù)命題 3的結(jié)論 知 ,由 1 ()nnx f x? ? 確定的 數(shù)列 {}nx 的 子列 ? ?21nx? 為單調(diào)遞增數(shù)列 ,? ?2nx 為單調(diào)遞減數(shù)列 ， 而 {}nx 不具有單調(diào)性 . 例 4[4] 設(shè) 1?? , 1x ?? ,1 1 nn nxx x?? ?? ?,（ 1,2,3,n? ） ,求證 :limnn x ??? ?. 證明 設(shè) () 1 xfx x??? ? （ 0x? ） ,則 2139。( ) 0(1 )fx x?????, 仿推論有 21 nx ???, 21 1 2nx ?? ? ???, 1,2,3,n? , 即 ? ?21nx? 與 ? ?2nx 有界 ,故均收斂 . 設(shè) 21lim nn xx??? ?,2lim nn xy?? ?, ,0ab? , 又 2 111 12 ( )12nnn nxxx x?? ??? ???? ??, 亦 由 推論 得 xy??? . 故 lim nn x ??? ? . 8 最后我們指出 ,應(yīng)用本文的三個(gè)命題 及推論 ,可以較為簡單的解決文獻(xiàn)[1,2,3,6]中所有例子與結(jié)果 ,以及文獻(xiàn) [4,5,7]中大部分結(jié)果 . 9 [參考文獻(xiàn) ] [1] 孫志峰 .關(guān)于一類遞推數(shù)列極限的求法的注解 [J].高等數(shù)學(xué)研究 ,2020,10（ 5） :4546. [2] 張乾 ,陳之兵 .一類遞推數(shù)列極限的求法 [J].高等數(shù)學(xué)研究 ,2020,9（ 5） :3031. [3] 胡付高 ,蔡運(yùn)舫 .一道極限題的多種解法 [J].高等數(shù)學(xué)研究 ,2020,7（ 5） :3336. [4] 余國林 ,魏本成 .關(guān)于上 ,下極限的一個(gè)新定理 [J].大學(xué)數(shù)學(xué) ,2020,23（ 5） :163166. [5] 潘杰 ,蘇化明 .一類數(shù)列極限的矩陣解法 [J].高等數(shù)學(xué)研究 ,2020,10（ 4） :102105. [6] 潘杰 ,蘇化明 .一道極限題的解法及應(yīng)用 [J].高等數(shù)學(xué)研究 ,2020,6（ 3） :2023. [7] 蘇化明 ,黃有度 .一類數(shù)列極限的收斂速度 [J].高等數(shù)學(xué)研究 ,2020,7（ 5） :2022. [8] 華東師大數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 (上冊 )[M].北京 :高等 教育出版 社 ,2020,6 第三版 :5,6,35. [9] 王四容 ,胡付高 .用高數(shù)觀點(diǎn)看 2020年全國高考理科數(shù)學(xué) (陜西卷 )22題 [J].數(shù)學(xué)通訊 , 2020,15:4142. 致 謝 衷心感謝 胡付高 老師的悉心指導(dǎo) !
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