【導讀】1．理解隨機變量的概念，理解分布函數(){}()FxPXxx????????的概念及性質，會計算與隨機變量相聯系的事件的概率。2．理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二項分布??超幾何分布、泊松分布??3．了解泊松定理的結論和應用條件，會用泊松分布近似表示二項分布。指數分布及其應用，其中參數為???介紹了作者用于分布函數求一維分布的直角分割法秘技。分布函數的定義歷來是。使讀者感到迷茫的知識點，如為什么要求分布函數必須右連續(xù)等問題？目前的教材和參考書。的講法都不清晰，作者系統地揭開了這一神秘數學面紗。會知道X的值，但X取值一定服從某種確定的分布。為數量化，而且這種數值只是一種符號表示。陳氏第2技隨機變量的分布函數的全新揭秘。恒為零，所以，連續(xù)型分布函數左連續(xù)和右連續(xù)同時成立。，離散型分布函數稱為離散分布律，一般使用列表表示。

　　

【正文】 yYyDXYP A f x y d x d y d x d y FP B f x y d x d y d y d x FF F F X Y??????? ? ? ?? ? ? ????? ? ??? ? ?故 ， 不 獨 立 。 評 注 求連續(xù)函數的概率時， 積分區(qū)域為直角分割區(qū)域與概率密度分布的正概率點區(qū)域的交 集。 如果讀者對二元分布及 其 邊緣分布不熟悉，可以不看此題的 XY， 是否獨立 的 證 明， 以后再回頭來研究。 2020 智軒考研數學創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數理統計 47 第二章 隨機變量及其分布 模擬題 一． 填空題 1． 設隨機變量 X 的分布函數為 0 , 1 ,57( ) , 1 1 ,161 , 1xxF x xx???? ??? ? ? ???? ?? 則 2( 1)PX??________。 2． 設隨機變量 X 的密度函數為 , 1 0 ,( ) , 0 1,0 , .C x xf x C x x? ? ? ? ??? ? ? ???? 其 他 則常數 C=__________。 3． 設隨機變量 X的概率密度為 2 , 0 1,()0 , .xxfx ????? ??? 其 他以 Y表示對 X的三次獨立重復觀察中事件 1{}2X?出現的次數，則 P（ Y=2） =_________。 4． 設 X 服從 [0， 1]上的均勻分布，則概率 2 31( 0 )48P X X? ? ?=________。 5． 設 2( , ), ( )X N F x?? 為其分布函數，則對任意實數 a ，有 ( ) ( )F a F a??? ? ? ?____。 6． 設連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為 , 0 1 ,( ) 2 , 1 2 ,0 , .xxf x x x????? ? ? ???? 其 他 則 13()22PX? ? ?____。 7． 設隨機變量 X 的概率密 度為 34 , 0 1()0 , .xxfx ? ???? ??? 其 他 又 a 為（ 0， 1）中的一個實數，且( ) ( )P X a P X a? ? ?，則 a? _______。 8． 若 2( , ),XN?? 則 X 的密度函數 ()fx的兩個拐點為 ________。 9． 設 X 服從參數為 5 的泊松分 布，則使得 ()PX k? 達到最大的 k? ________。 10．設 X 服從 [0， 1]上的均勻分布，則隨機變量 2lnYX?? 的概率密度為 _______， ? ?2 ln 1 ZX?? ? 的概率密度為 ________。 二．選擇題 1．下列函數中能夠作為分布函數的是 2020 智軒考研數學創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數理統計 48 （ A）0 , 1,1( ) , 1 2 ,31, 2.xF x xx?????? ? ? ?????? （ B） 0 , 0 ,() ln (1 ), 0 .1xFx x xx???? ?? ???? （ C）0 , 0 ,2( ) , 0 2 ,51, 2 .xxF x xx??? ??? ? ?????? （ D） 0 , 0 ,( ) s in , 0 ,1, .xF x x xx?????? ? ????? [ ] 2．設隨機變量 2( 2020 , 2020 ),XN 而且 C 滿足 ( ) ( )P X C P X C? ? ?，則 C 等于 （ A） 0 （ B） 2020 （ C） 1998 （ D） 2020 [ ] 3．設 2 2() xxf x ke??? 為一概率密度，則 k 的值為 （ A） 1e?? （ B） 1? （ C） 12 （ D） 2? [ ] 4．下列命題正確的是 （ A）連續(xù)型隨機變量的密度函數是連續(xù)函數。 （ B）連續(xù)型隨機變量的密度函數 ()fx滿足 0 ( ) 1fx??。 （ C）連續(xù)型隨機變量的分布函數是連續(xù)函數。 （ D）兩個概率密度函數的乘積還是密度函數。 [ ] 5．設隨機變量 X 的概率密度為 ()fx，分布函數為 ()Fx，且 ( ) ( )f x f x?? ，則對于任意實數 a ，有 ()Fa? = （ A） F(a) （ B） 1 ()2 Fa? （ C） 2 ( ) 1Fa? （ D） 1 ( )Fa? [ ] 6．設 2~ ( , ),XN?? 0 , ( ) ,f x X? ? 為 的 密 度 函 數對于任何正數 0a? ， 有 （ A） ( ) ( )f a f a?? （ B） ( ) ( )f a f a?? （ C） ( ) ( )f a f a?? （ D） ( ) ( ) 1f a f a? ? ? [ ] 7．設 12( ) ( )F x F x和 都是隨機變量的分布函數，則為使 12( ) ( ) ( )F x aF x bF x??是某隨機變量的分布函數，必須滿足 （ A） 32,55ab? ?? （ B） 22,33ab? ?? （ C） 13,22ab?? ?? （ D） 13,22ab? ?? [ ] 8．設 12( ), ( )F x F x 為隨機變量的分布函數， 12( ), ( )f x f x 是密度函數，則 2020 智軒考研數學創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數理統計 49 （ A） 12( ) ( )f x f x? 是密度函數。 （ B） 12( ) ( )f x f x 是密度函數。 （ C）對任何滿足 121 , , ( ) ( )a b a b af x bf x? ? ?的 實 數 是密度函數。 （ D） 12( ) ( )F x F x 是分布函數。 [ ] 三．解答題 1．設隨機變量 X 的概率密度為 23 21 , 0 ,()20 , .xx e xfx?? ??? ??? 其 他 求 X 的分布函數 F（ X）和概率 ( 2 4)PX? ? ? 。 2．假設隨機變量 X 的概率密度為 1 c o s , 0 ,22()0 , .x xfx ?? ???? ??? 其 他 對 X 獨立地重復 觀察 4 次，用 Y 表示觀察值大于 3? 的次數，試求 Y 的分布律。 3．一個袋中有 5 只球，編號 1， 2， 3， 4， 5，在其中同時取 3只，以 X表示取出的 3 只球中的最大號碼，求 X 的分布律。 4．設 10件產品中有 7件正品、 3 個次品，現隨機地從中抽取產品，每次抽 1 件，直到抽到正品為止，求： （ 1）有放回抽取下，抽取次數的分布律與分布函數； （ 2）無放回抽取下，抽取次數的分布律與分布函數。 5．設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間 X（以分計）服從指數分布，其概率密度為 151 ,0() 50 , .xXexfx ?? ??? ??? 其 他 某顧客在窗口等待服務，若超過 10 分鐘，他就離開，他一個月要到銀行 5 次，以 Y 表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數，試求 Y 的分布律以及概率 ( 1)PY? 。 6．設隨機變量 Y 服從 [ , 5]a 上的均勻分布， 0a? ，且關于未知量 x的方程 2 3 104x Yx Y? ? ? ?沒有實根的概率為 14 ，試求 a 的值。 7．已知 ( , ) , 1 ( 1 ) XX B n p Y ? ? ?，試求 Y 的分布律。 8．設隨機變量 X 的概率密度為 2020 智軒考研數學創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數理統計 50 1 , 1 0 ,( ) 1 , 0 1,0 , .Xxxf x x x? ? ? ? ??? ? ? ???? 其 他 求 2 1YX??的分布函數。 9． 設隨機變量 X的分布函數 ()XFx為嚴格 單調增加的連續(xù)函數， Y服從 [0， 1]上的均勻分布，證明隨機變量 1()XZ F Y?? 的分布函數與 X 的分布函數相同。 10．設 X 服從區(qū)間（ 0， 4）上的均勻分布，隨機變量 2 23Y X X? ? ?，試求 Y 的密度函數。 2020 智軒考研數學創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數理統計 51 第二章 隨機變量及其分布 模擬題 答案 一． 填空題 1． 38 2. 1 3. 964 4. 34 5. 1 6. 34 7. 412 8. x ???? 9. 2 10. 112211, 0 , , 0 ,( ) ( )220 , . 0 , .yzYZe y e zf y f z??????????????其 他 其 他 二．選擇題 1．（ C） 2．（ B） 3．（ A） 4．（ C） 5．（ D） 6．（ A） 7．（ A） 8．（ D） 三．解答題 1．2221 ( 1 ) , 0 ,() 20 , 0.xx exFxx?? ? ? ??? ???? 8( 2 4 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 4 ) 1 9 .P x F F F e ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2． 1(4, ).2YB 3．利用古典概型易得 X 3 4 5 P 1 3 310 10 5 4．（ 1） 137{ } , 1 , 2 , 3 , .1 0 1 0kP X k k???? ? ????? 1 [ ][]13 7 3( ) ( ) 11 0 1 0 1 0kxxkF x P X x??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? （ 2） 0 , 1,7,1 2 ,1028( ) , 2 3 ,30119, 3 4 ,1201, 4.xxF x xxx? ??? ?????? ? ??????????? 5． 2 2 5( 5 , ) , ( 1 0 ) . ( 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 ) .Y B p p P X e P Y P Y e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X 1 2 3 4 P 7 7 7 11 0 3 0 1 2 0 1 2 0 2020 智軒考研數學創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數理統計 52 6．由方程沒有實根得 4 1 1 11 4 , ( 1 4 ) ,5 4 3aY P Y aa?? ? ? ? ? ? ? ? ??于 是 故（注意 a 為正數）。 7． 8．0 , 1 ,( ) 2 1 1 , 1 2 ,1 , 2 .YyF y y y yy????? ? ? ? ? ??? ??? 9．利用分布函數的定義，反函數的定義以及均勻 分布的分布函數即可得證。 10．1, 4 3 ,441( ) , 3 5 ,840 , .Yyyf y yy? ? ? ? ?? ???? ? ? ???????其 他 Y 0 2 P 111