【正文】 ?? 【例 13】設(shè)隨機(jī)變量 ~ , 22XU ?????????，求 sinYX? 的分布密度 ??Yfy。 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?g X yF y P Y y P g X y f x d x f y F y? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ● 新增 例子 1：設(shè) Z 為連續(xù)型隨機(jī)變量，分布函數(shù)為 ??Fz，求 ? ?Y F Z? 的分布函數(shù)。 解： 上表顯然為離散分布正概率點(diǎn)的值。 三、一維 隨機(jī)變量 函數(shù)的分布函數(shù) ? ?Y f X? 離散型 陳氏第 4 技 采用 〖 一維 直 角分割法〗 計算 一維 分布函數(shù) 。泊松流產(chǎn)生的分布有： ??P? ， ??E? 。 【 例 6】 指數(shù)分布的特點(diǎn)是：“ 無記憶性” ， 即 ? ? ? ?0 0 0|P x X x x X x P X x? ? ? ? ? ?。 ? ? ? ? ? ?~ , , , 0 , 1 , 2 , , m i n ,k n kM N MnNCCP X k H n M N k M nC ??? ? ? 【 例 4】 袋中有 a 個白球， b 個紅球，從袋中先后取 k 個球 ， 求 含有 1k 個白球和 2k 紅球概率?？梢宰C明泊松流在單位時間內(nèi)流過質(zhì)點(diǎn)數(shù)便服從泊松分布。 取 xf x f x d x f x d x f x d x AF F Cxxf x f x f x f x Bo the r o the rX M a x X X F x P X x P M a x X X x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2。 ??5 普適分布函數(shù)和 離散型分布函數(shù)右連續(xù)；連續(xù)型分布函數(shù)左右都連續(xù)；但密度函數(shù)不 一定連續(xù) ，而且一般規(guī)定： 區(qū)間 端點(diǎn)（注意不是分界點(diǎn)）處密度函數(shù)值取零 。 離散型分布函數(shù)反應(yīng)在各個分布點(diǎn)上，而連續(xù)型分布點(diǎn)上的分布函數(shù)為 0，顯然不能反應(yīng)其分布本質(zhì)，故而使用其相應(yīng)的 ??fx概率 密度 或稱 分布密度 來反 應(yīng)分布規(guī)律 。 2． 2 離散型隨機(jī)變量的分布律 （概率 分布 ） 當(dāng) 隨機(jī)變量所取的有限個或可 列個值，能夠按照由小到大的順序排列時，稱為離散型 隨機(jī)變量。 又，上式中根本不可能出現(xiàn) ? ?0Fx? 的形式， ? ? ? ?0F x F x?? 對上述 5 種關(guān)系沒有任何影響，即 ??Fx右連續(xù) ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 00 。 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 29 隨機(jī)變量與普通函數(shù)區(qū)別有三，第一，隨機(jī)變量定義 域為 樣本空間 的基本事件 ；第二，隨機(jī)變量取值是隨機(jī)的，只有它取每一個可能值有確定的概率；第三，隨即變量是隨機(jī)事件的人為數(shù)量化 ，而且這種數(shù)值只是一種符號表示 。 2． 理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握 0— 1 分布、二項分布 ? ?, Bn p 、幾何分布、超幾何分布、泊松（ Poisson）分布 ??P? 及其應(yīng)用。 分布函數(shù)的定義歷來是使讀者感到迷茫的知識點(diǎn)，如為什么要求分布函數(shù)必須右連續(xù)等問題？目前的教材和參考書的講法都不清晰，作者系統(tǒng)地揭開了這一 神秘 數(shù)學(xué)面紗 。 ● ??Fx具有下列 重要 性質(zhì) ： ??a 單凋不減 ； 因為區(qū)間越大，概率越大。 對連續(xù)型 任一點(diǎn) 的概率等于零，而 對 非連續(xù)型 任一點(diǎn)的概率不 一定 等于零 。 評 注 離散分布函數(shù) ? ? ? ?F x P X x??一般為階梯函數(shù) 。 ??2 若 ? ? ? ? ? ?1 2 n, , , F x F x F x均是分布函數(shù)，則當(dāng) 10, 1niiiaa???? 時 ? ?1niii aF x??和 ? ?1niii aF x??仍然為分布函數(shù) 。A f x f x X B f x f x XC F x F x X D F x F x X?? 解：選 ??D 。 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 33 ? ? ? ?1 , 0 1P X p P X p q? ? ? ? ? ? 01 分布為： ? ? ? ? ? ?1 11 1 ~ 1 , , 0 , 1 .kk k k kP X k C p p p q B p k? ?? ? ? ? ? （ 2） 伯 努利二項分布 ? ?, Bn p 模 型 ：隨機(jī)試驗結(jié)果只有兩種，如每次 A 發(fā)生的概率為 p ，共 試驗 了 n 次，求其中 A 發(fā)生 k 次的概率（ 放回抽樣 ）。 ? ? ? ? ? ?1 11 ~ , 1 , 2 , 3 ,k kP X k p p q p G p k? ?? ? ? ? ? 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 34 【例 2】 袋中有 a 個白球， b 個紅球，從袋中先后取 出 k 個球， 放回 ， 求 第 k 次取到白球的概率。 （ 7）指數(shù) 分布 ??E? 模 型 ：在實踐中，如果隨機(jī)變量 X 表示某一隨機(jī)事件發(fā)生所需 等待 的時間，則一般 ~ ( )XE? 。 而且，根據(jù)中心極限定理，若干個未知分布的隨機(jī)變量之和近似地服從正態(tài)分布，它是數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)，是概 率與數(shù)理統(tǒng)計 中的 第一大分布 。 0 , 0230 , 0 0 0 1 11 1 1 1 12 2 3 3P A P B P A B P X YP X Y P X P Y P A B P A BP A B P A P B P A B? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ????? ● 分位數(shù) ： 如無特別說明， 正態(tài)分布 專指下分位數(shù) ；三個抽樣分布專指上分為數(shù)。又由于每一區(qū)間的 ??Fx為常數(shù)，故 X 具有離散型特征。 ??b ? ? ? ?0 。 解： ? ? 1 , 1 3 , 1 3, 4 0, xyf x yo th e r? ? ? ? ?????? 根據(jù) ? ? ? ?, 1 , 3 0 , 2 X Y U X Y? ? ? ? ?（值域）。 YYy F y y F y? ? ? ? ? ? 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 42 當(dāng) 01y??時 x 的單調(diào)區(qū)域 D 有兩個，即 ? ? ? ?| 0 a r c s i n | a r c s i nD x x y x y x??? ? ? ? ? ? ?，根據(jù)反函數(shù) 的定義， D 的兩個單調(diào)區(qū)域存在反函數(shù)。 【 例 18】 已知 ? ? ? ? ? ? 52 , 3 , 1 9X B p Y B p P X? ? ? ?， ，求 ? ?1PY? 。 評 注 求連續(xù)函數(shù)的概率時， 積分區(qū)域為直角分割區(qū)域與概率密度分布的正概率點(diǎn)區(qū)域的交 集。 7． 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密 度為 34 , 0 1()0 , .xxfx ? ???? ??? 其 他 又 a 為（ 0， 1）中的一個實數(shù)，且( ) ( )P X a P X a? ? ?，則 a? _______。 [ ] 5．設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 ()fx，分布函數(shù)為 ()Fx，且 ( ) ( )f x f x?? ，則對于任意實數(shù) a ，有 ()Fa? = （ A） F(a) （ B） 1 ()2 Fa? （ C） 2 ( ) 1Fa? （ D） 1 ( )Fa? [ ] 6．設(shè) 2~ ( , ),XN?? 0 , ( ) ,f x X? ? 為 的 密 度 函 數(shù)對于任何正數(shù) 0a? ， 有 （ A） ( ) ( )f a f a?? （ B） ( ) ( )f a f a?? （ C） ( ) ( )f a f a?? （ D） ( ) ( ) 1f a f a? ? ? [ ] 7．設(shè) 12( ) ( )F x F x和 都是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則為使 12( ) ( ) ( )F x aF x bF x??是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)，必須滿足 （ A） 32,55ab? ?? （ B） 22,33ab? ?? （ C） 13,22ab?? ?? （ D） 13,22ab? ?? [ ] 8．設(shè) 12( ), ( )F x F x 為隨機(jī)變量的分布函數(shù)， 12( ), ( )f x f x 是密度函數(shù)，則 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 49 （ A） 12( ) ( )f x f x? 是密度函數(shù)。 5．設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間 X（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為 151 ,0() 50 , .xXexfx ?? ??? ??? 其 他 某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過 10 分鐘，他就離開，他一個月要到銀行 5 次，以 Y 表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試求 Y 的分布律以及概率 ( 1)PY? 。 10．1, 4 3 ,441( ) , 3 5 ,840 , .Yyyf y yy? ? ? ? ?? ???? ? ? ???????其 他 Y 0 2 P 111 [。 7．已知 ( , ) , 1 ( 1 ) XX B n p Y ? ? ?，試求 Y 的分布律。 （ C）對任何滿足 121 , , ( ) ( )a b a b af x bf x? ? ?的 實 數(shù) 是密度函數(shù)。 9． 設(shè) X 服從參數(shù)為 5 的泊松分 布，則使得 ()PX k? 達(dá)到最大的 k? ________。 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 47 第二章 隨機(jī)變量及其分布 模擬題 一． 填空題 1． 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 0 , 1 ,57( ) , 1 1 ,161 , 1xxF x xx???? ??? ? ? ???? ?? 則 2( 1)PX??________。 證明： ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2222 , 00 , 011 1 l n 12xXxxYexfxxF y P Y y P e y P e y P x y???? ??? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 又 ? ? ? ?2 2 2 X 1 , 10 , 1 0 1 0 1 1 P e 10 , 1xx yx e y e y y? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 45 所以，只需考慮區(qū)間 ? ?0, 1y? ， 此時 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 l n 120l n 11 1 1l n 1 12 1 2 1yYXyY Y XF y f x d xf y F y f y eyy???????? ? ? ? ? ? ? ???????? 故： ? ? ? ?~ 0, 1Yf y U 。 【例 15】 ? ?~XE? ，求 XYe? 的概率密度函數(shù)。 【例 12】 ? ? ? ?21~ 1X f x xx? ?，求 23YX??的 ??yfy。 y a F y y b F y? ? ? ? ? ? ??c a y b??，根據(jù)分布函數(shù)定義求。根據(jù) 〖 直 角分割法〗 ， 計算如下 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?