【正文】 10．1, 4 3 ,441( ) , 3 5 ,840 , .Yyyf y yy? ? ? ? ?? ???? ? ? ???????其 他 Y 0 2 P 111 [。 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 51 第二章 隨機變量及其分布 模擬題 答案 一． 填空題 1． 38 2. 1 3. 964 4. 34 5. 1 6. 34 7. 412 8. x ???? 9. 2 10. 112211, 0 , , 0 ,( ) ( )220 , . 0 , .yzYZe y e zf y f z??????????????其 他 其 他 二．選擇題 1．（ C） 2．（ B） 3．（ A） 4．（ C） 5．（ D） 6．（ A） 7．（ A） 8．（ D） 三．解答題 1．2221 ( 1 ) , 0 ,() 20 , 0.xx exFxx?? ? ? ??? ???? 8( 2 4 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 4 ) 1 9 .P x F F F e ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2． 1(4, ).2YB 3．利用古典概型易得 X 3 4 5 P 1 3 310 10 5 4．（ 1） 137{ } , 1 , 2 , 3 , .1 0 1 0kP X k k???? ? ????? 1 [ ][]13 7 3( ) ( ) 11 0 1 0 1 0kxxkF x P X x??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? （ 2） 0 , 1,7,1 2 ,1028( ) , 2 3 ,30119, 3 4 ,1201, 4.xxF x xxx? ??? ?????? ? ??????????? 5． 2 2 5( 5 , ) , ( 1 0 ) . ( 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 ) .Y B p p P X e P Y P Y e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X 1 2 3 4 P 7 7 7 11 0 3 0 1 2 0 1 2 0 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 52 6．由方程沒有實根得 4 1 1 11 4 , ( 1 4 ) ,5 4 3aY P Y aa?? ? ? ? ? ? ? ? ??于 是 故（注意 a 為正數(shù)）。 9． 設(shè)隨機變量 X的分布函數(shù) ()XFx為嚴(yán)格 單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)， Y服從 [0， 1]上的均勻分布，證明隨機變量 1()XZ F Y?? 的分布函數(shù)與 X 的分布函數(shù)相同。 7．已知 ( , ) , 1 ( 1 ) XX B n p Y ? ? ?，試求 Y 的分布律。 5．設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間 X（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為 151 ,0() 50 , .xXexfx ?? ??? ??? 其 他 某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過 10 分鐘，他就離開，他一個月要到銀行 5 次，以 Y 表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試求 Y 的分布律以及概率 ( 1)PY? 。 3．一個袋中有 5 只球，編號 1， 2， 3， 4， 5，在其中同時取 3只，以 X表示取出的 3 只球中的最大號碼，求 X 的分布律。 [ ] 三．解答題 1．設(shè)隨機變量 X 的概率密度為 23 21 , 0 ,()20 , .xx e xfx?? ??? ??? 其 他 求 X 的分布函數(shù) F（ X）和概率 ( 2 4)PX? ? ? 。 （ C）對任何滿足 121 , , ( ) ( )a b a b af x bf x? ? ?的 實 數(shù) 是密度函數(shù)。 [ ] 5．設(shè)隨機變量 X 的概率密度為 ()fx，分布函數(shù)為 ()Fx，且 ( ) ( )f x f x?? ，則對于任意實數(shù) a ，有 ()Fa? = （ A） F(a) （ B） 1 ()2 Fa? （ C） 2 ( ) 1Fa? （ D） 1 ( )Fa? [ ] 6．設(shè) 2~ ( , ),XN?? 0 , ( ) ,f x X? ? 為 的 密 度 函 數(shù)對于任何正數(shù) 0a? ， 有 （ A） ( ) ( )f a f a?? （ B） ( ) ( )f a f a?? （ C） ( ) ( )f a f a?? （ D） ( ) ( ) 1f a f a? ? ? [ ] 7．設(shè) 12( ) ( )F x F x和 都是隨機變量的分布函數(shù)，則為使 12( ) ( ) ( )F x aF x bF x??是某隨機變量的分布函數(shù)，必須滿足 （ A） 32,55ab? ?? （ B） 22,33ab? ?? （ C） 13,22ab?? ?? （ D） 13,22ab? ?? [ ] 8．設(shè) 12( ), ( )F x F x 為隨機變量的分布函數(shù)， 12( ), ( )f x f x 是密度函數(shù)，則 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 49 （ A） 12( ) ( )f x f x? 是密度函數(shù)。 （ C）連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。 二．選擇題 1．下列函數(shù)中能夠作為分布函數(shù)的是 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 48 （ A）0 , 1,1( ) , 1 2 ,31, 2.xF x xx?????? ? ? ?????? （ B） 0 , 0 ,() ln (1 ), 0 .1xFx x xx???? ?? ???? （ C）0 , 0 ,2( ) , 0 2 ,51, 2 .xxF x xx??? ??? ? ?????? （ D） 0 , 0 ,( ) s in , 0 ,1, .xF x x xx?????? ? ????? [ ] 2．設(shè)隨機變量 2( 2020 , 2020 ),XN 而且 C 滿足 ( ) ( )P X C P X C? ? ?，則 C 等于 （ A） 0 （ B） 2020 （ C） 1998 （ D） 2020 [ ] 3．設(shè) 2 2() xxf x ke??? 為一概率密度，則 k 的值為 （ A） 1e?? （ B） 1? （ C） 12 （ D） 2? [ ] 4．下列命題正確的是 （ A）連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。 9． 設(shè) X 服從參數(shù)為 5 的泊松分 布，則使得 ()PX k? 達到最大的 k? ________。 7． 設(shè)隨機變量 X 的概率密 度為 34 , 0 1()0 , .xxfx ? ???? ??? 其 他 又 a 為（ 0， 1）中的一個實數(shù)，且( ) ( )P X a P X a? ? ?，則 a? _______。 5． 設(shè) 2( , ), ( )X N F x?? 為其分布函數(shù)，則對任意實數(shù) a ，有 ( ) ( )F a F a??? ? ? ?____。 3． 設(shè)隨機變量 X的概率密度為 2 , 0 1,()0 , .xxfx ????? ??? 其 他以 Y表示對 X的三次獨立重復(fù)觀察中事件 1{}2X?出現(xiàn)的次數(shù)，則 P（ Y=2） =_________。 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 47 第二章 隨機變量及其分布 模擬題 一． 填空題 1． 設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為 0 , 1 ,57( ) , 1 1 ,161 , 1xxF x xx???? ??? ? ? ???? ?? 則 2( 1)PX??________。 評 注 求連續(xù)函數(shù)的概率時， 積分區(qū)域為直角分割區(qū)域與概率密度分布的正概率點區(qū)域的交 集。 0 4D x y x? ? ? ? ?隨機投擲一點 ? ?XY， ，設(shè) ? ?1AX??， ? ?3BY??。 解：顯然， ? ? ? ?1 0 。 證明： ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2222 , 00 , 011 1 l n 12xXxxYexfxxF y P Y y P e y P e y P x y???? ??? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 又 ? ? ? ?2 2 2 X 1 , 10 , 1 0 1 0 1 1 P e 10 , 1xx yx e y e y y? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 45 所以，只需考慮區(qū)間 ? ?0, 1y? ， 此時 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 l n 120l n 11 1 1l n 1 12 1 2 1yYXyY Y XF y f x d xf y F y f y eyy???????? ? ? ? ? ? ? ???????? 故： ? ? ? ?~ 0, 1Yf y U 。 【 例 18】 已知 ? ? ? ? ? ? 52 , 3 , 1 9X B p Y B p P X? ? ? ?， ，求 ? ?1PY? 。 證明：分布函數(shù)的三個基本條件： （ 1） ? ? ? ?1 2 1 2x x F x F x? ? ? 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 44 （ 2） ? ? ? ?li m 0 , li m 1xxF x F x? ?? ? ???? （ 3） ? ? ? ?0F x F x?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 1 2 2 1 2 21 1 1 2 1 1 2 2 2 212121 2 1 2, l i m l i m 0l i m l i m 10 0 0xxxxx x F x F x F x F xF x aF x bF x aF x bF x F xF x aF x bF xF x aF x bF x a bF x aF x bF x aF x bF x F x? ?? ? ??? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 所以， ??Fx也是分布函數(shù) 。 【例 16】 X 服從 ? ?0, 1 N ，求 XYe? , 221YX??, YX? 的 概率密度。 【例 15】 ? ?~XE? ，求 XYe? 的概率密度函數(shù)。 YYy F y y F y? ? ? ? ? ? 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 42 當(dāng) 01y??時 x 的單調(diào)區(qū)域 D 有兩個，即 ? ? ? ?| 0 a r c s i n | a r c s i nD x x y x y x??? ? ? ? ? ? ?，根據(jù)反