邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性(完整版)
【正文】 是 21122112221212221 )(][))((2)(??????????????? ?????????? xxyyxy? ? ??????????? dyeexfxyxX2112222121 ][)1(212)(221 121)( ? ??? ????????? ???? dyyxfxf X ),()(由 于 解 令 ),(1 111222 ???????????xyt 則有 同理 ?????????yeyfyY ,21)( 22222)(2???? ????????????????? xedteexfxtxX ,2121)( 21 21221 21 2 )(122)(1?????????由聯(lián)合分布可以求出邊際分布 . ?但由邊際分布一般無法求出聯(lián)合分布 . ?所以聯(lián)合分布包含更多的信息 . 注 意 點(diǎn) (1) ?二維正態(tài)分布的邊際分布是一維正態(tài)： 若 (X, Y) ? N ( ?1, ?2 ,?12, ?22 , ? )， 注 意 點(diǎn) (2) 則 X ? N (?1, ?12)， Y ? N (?2 , ?22 ). ? 二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均勻分布 . 例 設(shè) (X, Y)服從區(qū)域 D={(x, y), x2+y2 1} 上的均勻分布，求 X 的邊際密度 p(x). 解 : 由題意得 2211( , )0xyp x y ?????????其 它x y 1 1 2x1y ???當(dāng) |x|1時， p(x, y)=0， 所以 p(x)=0 當(dāng) |x|≤1時 , 22111() xxdypx ????? ? 22 1 x? ??不是均勻分布 21yx??練習(xí) 1 設(shè)二維隨機(jī)變量 ??? ?????其它0,1048),(~),( 23 xyxxxyyxfYX求邊緣密度函數(shù) fX(x)和 fY(y) 解 當(dāng) 0x1時 , ?????? dyyxfxf X ),()( )(24487523xxx y d yxx??? ?O 1 x y 1 y=x2 y=x3 當(dāng) x≤0或 x≥1時， fX(x)=0，所以 ??? ????其它010)(24)( 75 xxxxfX當(dāng) 0y1時 , )(2448),()( 2353yyx y dxdxyxfyfyyY ???? ??????當(dāng) y≤0或 y≥1時， fY(y)=0，所以 ?????????其它010)(24)( 235yyyyfY 在多維隨機(jī)變量中，各分量的取值有時會相互影響。( 3 ) , .C y x x y xX Y f x yCXYXY? ? ? ? ??? ??設(shè)其 它求 的 值求 關(guān) 于 關(guān) 于 的 邊 緣 概 率 密 度判 斷 的 獨(dú) 立 性例 2 4 ( 1 ) , 0 1 , 0 .( , )0 , .y x x y xf x y? ? ? ? ??? ??故其 它0( ) ( , ) d 24 ( 1 ) dxXf x f x y y y x y???? ? ???).1(12 2 xx ??,10 時當(dāng) ?? x,1,0 時或當(dāng) ?? xx( ) ( , ) d x f x y y??????xy ?o xy1?x124d2)1(210 ???? ?CxxxC .24?? C( ) ( , ) dYf y f x y x???? ?.)1(12 2yy ??xxyy d)1(241? ??21 2 ( 1 ) , 0 1 ,()0 , .Xx x xfx? ? ? ?? ?? 其 它于是 (X,Y)關(guān)于 X 的邊緣概率密度為 ,10 時當(dāng) ?? yxy ?o xy1?x練習(xí) 1 若二維隨機(jī)變量 )。每次從中任取兩個球，以 X和 Y分別表示這兩個球中編號最小的號碼和最大的號碼。 習(xí) 題 6 . 設(shè) 二維 隨機(jī)變量 ( X , Y ) 的概率密度為 ??? ?
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