邊際分布與隨機變量的獨立性(已修改)
2025-05-14 05:11 本頁面
【正文】 167。 邊際分布與隨機變量的獨立性 問題： 已知二維隨機變量 (X, Y) 的聯(lián)合分布， 如何求出 X 和 Y 各自的分布？ 邊際分布函數(shù) 巳知 (X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x, y)， 則 Y ? FY (y) = F(+? , y). X ? FX (x) = F(x, +?), 邊緣分布的幾何意義 FX(x)的函數(shù)值表示 隨機點 (X,Y)落入如下左圖所示區(qū)域內(nèi)的概率 ； FY(y)的函數(shù)值表示 隨機點 (X,Y)落入如下右圖所示區(qū)域內(nèi)的概率。 O x x O x y y y 補 例 5 設(shè)二維隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 ?????? ??????? ?? 2a r c ta n2a r c ta n),( yCxBAyxF其中 A， B， C為常數(shù)， x∈ (∞,+∞)， y∈ (∞,+∞) (1)試確定 A， B， C； (2)求 X和 Y的邊緣分布函數(shù)； (3)求 P(X2) 解 (1)由聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì) 2可知 122),(l i m),( ??????? ??????? ??????????????? CBAyxFFyx022),( ??????? ??????? ?????? ?? CBAF 022),( ??????? ??????? ?????? ?? CBAF解得 21??A 2??B 2??C(2) 2a r c ta n1212a r c ta n21),()(2xxxFxFX ???? ????????? ????? ),( ?????x2a r c ta n1212a r c ta n2221),()(2yyyFyFY ????? ???????? ???????? ????? ),( ?????y(3)由 X的分布函數(shù)可得 4141211)2(1)2(1)2( ??????? ?????????? ??XFXPXP故 ?????? ??????? ?? 2a r c t a n22a r c t a n21),( 2 yxyxF ??? 邊際分布列 巳知 (X, Y) 的聯(lián)合分布列為 pij， 則 X 的分布列為： Y 的分布列為： () ?i ij ijP X x p p ?? ? ??() ?j i j jiP Y y p p ?? ? ??以表格形式表示為 Y X y1 y2 … yj … P(X=xi) x1 p11 p12 … p1j … x2 p21 p22 … p1j … … … … … … … … xi pi1 pi1 … pij … … … … … … … … P(Y=yj) … … 1 ????? ? 1 11 i ipp ????? ? 1 22 i ipp ????? ? 1i ijj pp????? ? 1 11 j jpp????? ? 1 21 j jpp????? ? 11 j ijpp例 把兩封信隨機地投入已經(jīng)編好號的 3個郵筒內(nèi) ,設(shè) 。的分布律及邊緣分布率求個郵筒內(nèi)信的數(shù)目分別表示投入第 ),(,2,1, YXYX解： )2,2(),1,2(),2,1(),(2,1,0, 取由題設(shè)，各自的取值為 YXYX均不可能，因而相應的概率均為 0 211{ 0 , 0 }39P X Y? ? ? ? 222{ 0 , 1 }39P X Y? ? ? ?211{ 0 , 2 }39P X Y? ? ? ? 222{ 1 , 1 }39P X Y? ? ? ?{ 1 , 0 } , { 2 , 0 }P X Y P X Y? ? ? ?可由對稱性求得 再由古典概率計算得 ： 所有計算結(jié)果列表如下 ： ( , )X Y X Y和 的 邊 緣 分 布 律 可 由 的 分 布 律 確 定( X,Y )關(guān)于 Y的邊緣分布律 ( X,Y )關(guān)于 X的邊緣分布律 例 已知 (X,Y)的分布律為 故關(guān)于 X和 Y的邊緣分布律分別為： 求 X、 Y的邊緣分布律。 Y X 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 Y X 1 0 pi 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5 pj 2/5 3/5
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