[研究生入學考試]二維隨機變量及其分布(已修改)
2025-01-31 15:36 本頁面
【正文】 1 Department of Mathematics 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 主講人： 宣平 2022年 .秋學期 2 第五章 二維隨機變量及其分布 3 第一節(jié) 二維隨機變量及其分布函數(shù) 4 一、二維隨機變量 12( ) , ( ) , ( )nX X X? ? ?定 義 ： 若 ， 是 定 義 在 同 一? ? n???樣 本 空 間 上 的 個 隨 機 變 量 ，12( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )nX X X X n? ? ? ??則 稱 , 為 維 隨 機 變 量 [ 向 量 ]如在研究兒童的發(fā)育時，涉及到身高和體重兩方面的 問題，在研究家庭的收支時則涉及更多個方面的因素。 與一維隨機變量的研究類似，我們也把隨機向量 分成離散型、連續(xù)型及混合型，主要研究離散型和連 續(xù)型的隨機向量。 5 二、二維隨機變量的分布函數(shù) ( , ) , , ,X Y x y R??定 義 ： 設 有 二 維 隨 機 變 量 對 稱 概 率( , ) ( , ) .P X x Y y X Y?? 為 隨 機 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù)( , ) , ( , ) ( , ) .F x y F x y P X x Y y? ? ?記 作 ： 即注： 聯(lián)合分布函數(shù) 表示 2 個事件 同時發(fā)生的概率。 ( , ) ( , ) ( , )F x y X Y x y聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 表 示 隨 機 點 落 在 點.的 左 下 方 的 無 窮 矩 形 區(qū) 域 內(nèi) 的 概 率( , )xyXY6 三、二維聯(lián)合分布函數(shù)的性質 單調(diào)性 : 有界性 : 右連續(xù)性 : 非負性 : 1 2 1 2( , ) ( , ) 。x x F x y F x y? ? ?1 2 1 2( , ) ( , ) .y y F x y F x y? ? ?0 ( , ) 1 。F x y??( , ) 0 ,Fy? ? ?( , ) 0 ,Fx ? ? ?( , ) 1 .F ? ? ? ? ?( 0 , ) ( , ) ,F x y F x y??( , 0 ) ( , ) .F x y F x y??( , )P a X b c Y d? ? ? ? ?( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 .F b d F a d F b c F a c? ? ? ?注意： 上述四條性質是聯(lián)合分布函數(shù)的充要條件 . 7 關于非負性的補充說明： ( , )P a X b c Y d? ? ? ? ?( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 .F b d F a d F b c F a c? ? ? ?XYa bcdAD CB( , ) ( , )P a X b c Y d X Y A B C D? ? ? ? 表 示 在 正 方 形 內(nèi)取 值 的 概 率 ；按 照 分 布 函 數(shù) 的 定 義 ， 這 個 概 率 又 可 以 表 示 為( , ) ( , ) ( , ) ( , )F b d F a d F b c F a c? ? ?( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0F F b d F a d F b c F a c? ? ? ?因 此 必 須 滿 足 :8 例 1〔 反例 〕 ：函數(shù) 不滿足非負性，故不能作為二維隨機變量的分布函數(shù) . 0, 0 。( , )1 , 0.xyG x yxy????? ???( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 )G G G G? ? ? ? ? ? ?1 1 1 0 1 .? ? ? ? ? ?( 1 1 , 1 1 ) 1 .G P X Y? ? ? ? ? ? ? ?如 果 是 分 布 函 數(shù) ， 則3事 實 上 ， 存 在 函 數(shù) 滿 足 分 布 函 數(shù) 的 前 條 性 質 ，但 不 滿 足 非 負 性 ：()Gx易 見 ： 滿 足 單 調(diào) 性 、 有 界 性 和 右 連 續(xù) 性 ，但 是9 例 2 設二維隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 解：由分布函數(shù)的性質可以得到 ( , ) ( a r c t a n ) ( a r c t a n ) ,F x y A B x C y? ? ? , , ( , ) .A B C x y?? ? ? ?? ?? ? ? ??求 常 數(shù)lim ( a r c t a n ) ( a r c t a n )xyA B x C y? ? ?? ? ?? ? ?( ) ( )22A B C????1?l i m ( ar c t an ) ( ar c t an )x A B x C y? ? ? ? ? ?() ( a r c t a n2 )A C yB ? ?? 0?l i m ( ar c t an ) ( ar c t an )y A B x C y? ? ? ? ? ?( a r c t a n () )2CA B x ?? ?0?21 ,.2A B C??? ? ? ?10 第二節(jié) 二維離散型隨機變量 11 一、二維離散隨機變量 對于 二維隨機變量 (X,Y),如果 X 和 Y 都是 離散型隨機變量 ,則稱 (X,Y)是二維離散型隨機變量。 ( , )XY定 義 ： 設 二 維 隨 機 變 量 的 可 能 取 值 為, , , 1 , 2 , 3 , .ijX x Y y i j? ? ?( , ) , , 1 , 2 ,i j i jP X x Y y p i j? ? ? ?則 稱( , )XY為 二 維 隨 機 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 列 .或 用 下 列 的 表 格 形 式 來 表 示 .12 11 12 121 22 212jji i ijp p pp p pp p pX Y1x2xix1y 2y jy二、二維隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合分布列 聯(lián)合分布列的基本性質 非負性： 正則性： 0ijp ?111ij
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