兩個隨機變量函數(shù)的分布(已修改)
2025-05-29 01:22 本頁面
【正文】 我們主要討論兩個隨機變量的函數(shù)的分布問題，然后將其推廣到多個隨機變量的情形 . 當隨機變量 X1, X2, …, Xn的聯(lián)合分布已知時，如何求出它們的函數(shù) Yi=gi(X1, X2, …, Xn), i=1,2,…, m 的聯(lián)合分布 ? 兩個隨機變量函數(shù)的分布 二維離散型隨機變量函數(shù)的分布律 設(shè) (X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布律為 P{X=xi ,Y=yj}= pij , (i, j=1,2,…) 且二元函數(shù) z=g(x, y)對于不同的 (xi, yj)有不同 函數(shù)值，則隨機變量 Z=g(X, Y)的分布律為 P{Z=g(xi ,yj)}= pij , (i, j=1,2,…) 例 1 若 X、 Y獨立， P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… , 求 Z=X+Y的概率函數(shù) . 解 : )()( rYXPrZP ???? {X+Y =r } {X=0, X+Y =r } ∪ {X=1, X+Y =r } ∪ {X=r, X+Y =r } …… 且諸 {X=i, X+Y =r },i=0， 1,2, …, r互不相容 例 1 若 X、 Y獨立， P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… , 求 Z=X+Y的概率函數(shù) . 于是有 : )()( rYXPrZP ??????????riirYPiXP0)()(=a0br+a1br1+…+ arb0 ??????riirYiXP0),( 由獨立性 此即離散 卷積公式 r=0,1,2, … 解： 依題意 ???????riirYPiXPrZP0)(()( ） 例 2 若 X和 Y相互獨立 ,它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布 , 證明 Z=X+Y服從參數(shù)為 21,??21 ?? ?的泊松分布 . 由卷積公式 i=0,1,2,… j=0,1,2,… !)(ieiXP i11 ?????!)(jejYP j22 ????????????riirYPiXPrZP0)()( （）由卷積公式 ????ri 0ir2i1i ) !(rei!e 21 ?? ???????rire0ir2i1)(i ) !(ri!r!!21????,)(! 21)( 21rre ???? ?? ??即 Z服從參數(shù)為 的泊松分布 . 21 ?? ?r =0,1， … 例 3 設(shè) X和 Y相互獨立， X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y 的分布 . 回憶第二章對服從二項分布的隨機變量所作的直觀解釋 : 我們給出不需要計算的另一種證法 : 同樣， Y是在 n2次獨立重復(fù)試驗中事件 A出現(xiàn) 的次數(shù) ,每次試驗中 A出現(xiàn)的概率為 p. 若 X~ B(n1,p),則 X 是在 n1次獨立重復(fù)試驗中事件 A出現(xiàn)的次數(shù) ,每次試驗中 A出現(xiàn)的概率都為 p. 故 Z=X+Y 是在 n1+n2次獨立重復(fù)試驗中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗中 A出現(xiàn)的概率為 p，于是 Z是以（ n1+n2， p）為參數(shù)的二項隨機變量，即 Z ~ B(n1+n2, p). 連續(xù)型分布的情形 1. Z=X+Y的分布 例 4 設(shè) X和 Y的聯(lián)合密度為 f (x,y),求 Z=X+Y的 密度 . 解 : Z=X+Y的分布函數(shù)是 : FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z) ???Dd x d yyxf ),(這里積分區(qū)域 D={(x, y): x+y ≤z} 是直線 x+y =z 左下方的半平面 . 化成累次積分 ,得 ?????zyxZ dxdyyxfzF ),()(? ???? ???? yzZ dydxyxfzF ]),([)( 固定 z和 y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換 , 令 x=uy,得 ? ???? ?? ?? zZ dyduyyufzF ]),([)(? ??? ??? ?? z dudyyyuf ]),([變量代換 交換積分次序 由概率 密度與分布函數(shù)的關(guān)系 , 即得 Z=X+Y的概率密度為 : 由 X和 Y的對稱性 , fZ (z)又可寫成 ? ??? ??? dyyyzfzFzf ZZ ),()()( 39。以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式 . ? ??? ??? dxxzxf
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