[研究生入學(xué)考試]二維隨機(jī)變量及其分布-資料下載頁(yè)
2025-01-19 15:36本頁(yè)面
【正文】 條件，對(duì)各種 類型的隨機(jī)變量都能成立。 而對(duì)于離散和連續(xù)型的隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，又可以 分別利用概率分布列和密度函數(shù)來(lái)反映隨機(jī)變量的 獨(dú)立性。 45 二、離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 i j i jX Y P X x Y y p i j( , ) ( , ) , , 1 , 2 , .? ? ? ?設(shè)i ijjpp1,???? ?iP X x()?即 ；j i jipp1 ,???? ?jP Y y()?即 .XY ?則 、 獨(dú) 立 , , 1 , 2 ,i j i jp p p i j????12, , , nn X X X一 般 地 , 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 獨(dú) 立 的 充 要 條 件 是 ：nx x x R12, , , ,?對(duì) 任 意 都 有 ：nnP X x X x X x1 1 2 2( , , , )? ? ?nnP X x P X x P X x1 1 2 2( ) ( ) ( ) .? ? ? ?46 例 1 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合分布律為 1 0 22 1 2020 20 202 1 2120 20 204 2 4220 20 20?X YXY、 是 否 相 互 獨(dú) 立 ？XY、 的 邊 緣 分 布 為 ：XPYP0 1 21 1 24 4 41 0 2?2 1 25 5 5,xy通 過(guò) 驗(yàn) 證 , 對(duì) 所 有 的i j i jp p p .?都 滿 足 ：XY .所 以 ， 、 相 互 獨(dú) 立47 例 2 設(shè) (X,Y)的邊際分布如下： X 1 0 1?P 1 / 4 1 / 2 1 / 4Y 01P 1 / 2 1 / 2P X Y( 0 ) 1 ,??已 知X Y X Y( 1 ) ( , ) ( 2 ) ,求 的 聯(lián) 合 分 布 列 ； 是 否 獨(dú) 立 ？分 析 ： 僅 由 邊 緣 分 布 是 不 能 確 定 聯(lián) 合 分 布 的 ；這 里 有 附 加 條 件 .求 分 布 的 實(shí) 質(zhì) 是 ：計(jì) 算 概 率 ..注 意 邊 緣 分 布 和 聯(lián) 合 分 布 的 關(guān) 系 , 以 及 分 布 列 的 性 質(zhì)P X Y( 0 ) 1??P X Y( 0 ) 0? ? ?P X Y( 1 , 1 ) 0 .? ? ? ? ?48 X 1 0 1?P 1 / 4 1 / 2 1 / 4Y 01P 1 2 1 / 2P X Y( 1 , 1 ) 0 .? ? ? ?XY 1 0 1?01 0 0X 的 分 布 1 / 4 1 / 2 1 / 41/4 1/4Y 的 分 布1/21/201/2顯然不獨(dú)立 . 注：聯(lián)合分布列中有 0一定不獨(dú)立！ 49 三、連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 X Y f x y( , ) ( , ) ,如 果 則 有XY ?、 獨(dú) 立 XYf x y f x f y( , ) ( ) ( )??n個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件是： nn i iif x x x f x121( , , ) ( ) .?? ?，簡(jiǎn)單判別方法： XY ?、 獨(dú) 立( , ) ( , ) 0 .f x y f x y ?可 分 離 變 量 , 且 的 區(qū) 域 是 矩 形50 例 3 設(shè) （ X,Y） 的聯(lián)合密度函數(shù)為 xy x yp x y 8 , 0 1 。( , )0 , .? ? ????? 其 他問(wèn) X、 Y是否獨(dú)立？ 0 1 1 yx?Xpx()?x0 1。??x xy dy1 8?xx 24 ( 1 ) ,??0 , .其 他 yYxy dx y ypy308 4 , 0 1 。()0 , .? ? ? ??? ????其 他XYp x y p x p y X Y( , ) ( ) ( ) .?顯 然 ， ， 、 不 獨(dú) 立f x y( , ) 0 .?注 ： 事 實(shí) 上 ， 的 區(qū) 域 不 是 矩 形51 例 4 從 (0,1)中任取兩個(gè)數(shù) ,求下列事件的概率： ①兩數(shù)之和小于 ； ②兩數(shù)之積小于 1/4. 解：記這兩個(gè)數(shù)分別為 X、 Y,則 X、 Y獨(dú)立 ,且都 服從 (0,1)上的均勻分布。從而 (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為 p x y( , ) XYp x p y( ) ( )?1 , 0 1 , 0 10,xy? ? ? ????? 其 他所求的概率 ,即是在指定的區(qū)域內(nèi)計(jì)算聯(lián)合密度函數(shù) 的二重積分。 52 11xy 1 .2?? xy?P X Y( 1 . 2 )? ? ?dy dx0. 2 100?? x dy dx1 1. 20. 2 0 ?? ??xyp x y 1 , 0 1 , 0 1 。( , )0, .? ? ? ????? 其 他例 4 從 (0,1)中任取兩個(gè)數(shù) ,求下列事件的概率： ①兩數(shù)之和小于 ； ②兩數(shù)之積小于 1/4. 53 110 xy xyp x y 1 , 0 1 , 0 1 。( , )0, .? ? ? ????? 其 他xy 14?140 .5 9 6 6?P X Y( 1 / 4 )??dy dx1 / 4 100?? x d y d x1141 / 4 0? ??二 維 均 勻 分 布 中 的 概 率 計(jì) 算 可 以 化注 ： 為 面 積 型 的幾 何 概 率 來(lái) 計(jì) 算 .? ? GSP x y G S( , ) .???即例 4 從 (0,1)中任取兩個(gè)數(shù) ,求下列事件的概率： ①兩數(shù)之和小于 ； ②兩數(shù)之積小于 1/4. 54 作業(yè)： 6 4 6 5 4 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 4P ? ?55 The End！ Thank You！ Department of Mathematics
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