[研究生入學(xué)考試]二維隨機(jī)變量及其分布-文庫(kù)吧
2025-01-04 15:36 本頁(yè)面
【正文】 ijp? ? ? ??????13 例 1 一口袋裝有 3個(gè)球 ,分別標(biāo)有數(shù)字 1,2,2。從 袋中任取一球 ,不放回袋中 ,再?gòu)拇腥稳∫磺颉? 記 X、 Y分別表示第一、二次取出的球上的數(shù)字 . ( 1 ) ( , )XY求 的 聯(lián) 合 分 布 列 ；( 2 ) ( ) .P X Y?計(jì) 算 概 率分析：與求一維分布列一樣 ,確定取值 ,計(jì)算概率 . , 1 2 .XY解 ： 的 可 能 取 值 都 是 和( 1 , 1 )P X Y? ? ?0； ( 1 , 2 )P X Y? ? ?13? 13；( 2 , 1 )P X Y? ? ?2132? 13? ；( 2 , 2 )P X Y? ? ?2132? ?14 ( 1 , 1 ) 01( 1 , 2 )3P X YP X Y? ? ?? ? ?；；( 1 ) ( , )XY 的 聯(lián) 合 分 布 列 為12110311233XY( 2 ) ( )P X Y??1( 2, 1 )31( 2, 2 ) .3P X YP X Y? ? ?? ? ?；( 1 , 1 )P X Y??( 2 , 1 )P X Y? ? ?( 2 , 2 )P X Y? ? ?11033? ? ?2.3?15 例 1* 一口袋裝有 3個(gè)球 ,分別標(biāo)有數(shù)字 1,2,2。 從袋中任取一球 。 放回袋中 ,再?gòu)拇腥稳∫磺颉? 記 X、 Y分別表示第一、二次取出的球上的數(shù)字 . ( , )XY求 的 聯(lián) 合 分 布 列 .( 1 )PX ? ( 1 )PY??1,3?( 2 )PX ? ( 2 )PY???,XY 獨(dú) 立( , )( ) ( ) .ijijP X x Y yP X x P Y y??? ? ?121219924299XY16 例 2 從 1,2,3,4 中取一數(shù)記為 X,再?gòu)? 1,…, X 中 取一數(shù)記為 Y,求 (X,Y)的聯(lián)合分布列及 P(X=Y)。 ,XY解 ： 的 可 能 取 值都 是 1,2,3,4.( 1 , 1 )P X Y? ? ?( 1 ) ( 1 1 )P X P Y X? ? ?111。44? ? ?( 2 , 1 )P X Y? ? ?( 2 ) ( 1 2 )P X P Y X? ? ?1 1 1 。4 2 8? ? ?( 3 , 1 )P X Y? ? ?( 3 ) ( 1 3 )P X P Y X? ? ?1 1 1 。4 3 1 2? ? ?( 4 , 1 )P X Y? ? ?( 4 ) ( 1 4 )P X P Y X? ? ?1 1 1 。4 4 1 6? ? ?………………………… ( , )XY 的 聯(lián) 合分 布 列 為 :1 2 3 411 0 0 04112 0 0881113012 12 121 1 1 1416 16 16 16X Y()P X Y?? ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )( 4 )P X Y P X Y P X YP X Y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?1 1 1 1 2 5 .4 8 1 2 1 6 4 8? ? ? ? ?.?聯(lián) 合 分 布 列 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù)12110311233XYxy1 221( , )F x y ?1 , 1xy??或0,1/3, 1 2 , 2 .xy? ? ?1/3, 1 2 , 2 .yx? ? ?0, 1 2 , 1 2 .xy? ? ? ?1, 2 , 2 .xy??且???19 第三節(jié) 二維連續(xù)型隨機(jī)變量 20 定義 :如果存在二元非負(fù)函數(shù) p(x,y),使得二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布函數(shù) F(x,y)滿足 : 則稱 (X,Y)為二維連續(xù)隨機(jī)變量 ,p(x,y)稱為(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)。 ( , ) ( , )xyF x y p u v dudv? ? ? ?? ??注： 在 F(x,y)偏導(dǎo)存在的點(diǎn)處有： 2( , ) ( , )p x y F x yxy?? ??基本性質(zhì) 非負(fù)性： 正則性： ( , ) 0 。p x y ?( , ) x y dxd y? ? ? ?? ? ? ? ???21 即密度函數(shù)在指定平面區(qū)域 G上的二重積分。 概率計(jì)算： 補(bǔ)充說(shuō)明： 類似地 ,可以定義更高維的連續(xù)隨機(jī)變量及其聯(lián)合 密度函數(shù)。并且 ,密度函數(shù)與分布函數(shù)有著相似的 關(guān)系；其概率計(jì)算也與二維隨機(jī)變量類似。 ? ?( , ) ( , ) , ( , ) ( , )X Y p x y A X Y X Y G??設(shè) 的 密 度 函 數(shù) 為 ，( ) ( ( , ) ) ( , )GP A P X Y G p x y d x d y? ? ? ??則22 1 . ( , )XY例 設(shè) 的 聯(lián) 合 密 度 為236 , 0, 0 。( , )0,xye x yp x y??? ??? ?? 其 他 .( 1 ) ( 1 , 1 ) 。 ( 2 ) ( ) .P X Y P X Y? ? ?求 ：1 1 G1 ( 1 ) ( 1 , 1 )P X Y? ? ?1 2310 6 xye d x d y?? ??????????23( 1 )ee???? 0 .0 4 3 0 .?G2 ( 2 ) ( )P X Y??2300( 6 )x xye dy dx?? ???? 45?23 常用二維分布： 1 、 二 維 均 勻 分 布 ：( , )XY如 果 的 聯(lián) 合 密 度 函 數(shù) 為 ：? ?1, ( , )( , )0 , ( , )x y GSGf x yx y G???? ?? ??若若( , ) .X Y G則 稱 服 從 區(qū) 域
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