【正文】 函數(shù) 的定義， D 的兩個單調(diào)區(qū)域存在反函數(shù)。 故 ? ? ? ?0 0 。 解 法 ： 公式法 ? ? 1 , , 220, xfx ???? ????? ??? ????? 其 它， 而 sinyx? 在 , 22?????????存在反函數(shù) arcsinxy? 且211yx y? ? ? ，使用公式法 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?112, , 0 , 1, 1 , 1a r c sin a r c sin a r c sin , 1 , 1 10 , 0 , XYXXf g y g y y a bfxothe ryf y x f y y yyothe r othe r???? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??????? ?? ??? ? ????? ???? ? 【例 14】 已知隨機變量 X 的 服從 ? ?0, ? 上的均勻分布， 求 sinYX? 的概率密度。 【例 12】 ? ? ? ?21~ 1X f x xx? ?，求 23YX??的 ??yfy。 解： ? ? 1 , 1 3 , 1 3, 4 0, xyf x yo th e r? ? ? ? ?????? 根據(jù) ? ? ? ?, 1 , 3 0 , 2 X Y U X Y? ? ? ? ?（值域）。 y F y y F y? ? ? ? ? ? 當 01y??時， ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?11F y P Y y P F Z y P Z F y F F y y?? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?0 , 0 1 , 0 1, 0 1 ~ 0 , 10,1, y yF y y y f y Uot he ry?? ????? ? ? ? ? ??? ???。 解： 由分布函數(shù)的性質(zhì)知 ? ? ? ?0 , 1 Y F Z Y? ? ? ? ? ? ?0 0 。 y a F y y b F y? ? ? ? ? ? ??c a y b??，根據(jù)分布函數(shù)定義求。 ??b ? ? ? ?0 。 解 ： ∵ Y 的所有可能取值為 22 ， 1 （ 將 X 的所有取值代入 Y SinX? 得到） 23 4 4P Y P X P X???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?1 0 .72P Y P X ???? ? ? ????? Y 22 P 連續(xù)型 如果 X 具有連續(xù)概率密度 ? ? ? ?, , Xf x x ? ?? ? ?， ??gx處處 可導，且 ??gx? 不變號 ，則? ? ? ?1Y g X X g Y?? ? ?的概率密度為： 2020 智軒考研數(shù)學創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 40 ? ? ? ? ? ? ? ?11 , , 0 , XYf g y g y y a bfyo the r??? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ????? 評 注 上述解法由于條件 苛刻 ， 應用受到限制 ，而且一般的概率密度并非連續(xù)函數(shù)。 根據(jù)概率歸一化： 1 0 . 2 5 0 . 1 5 0 . 3 5 0 . 2 5 0 . 0 5a b b a? ? ? ? ? ? ? ? ? 利用直角分割法，如計算區(qū)間 12x??的 ??Fx ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1 0 . 6F x P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ?， 其 余 區(qū)間 類推，故： ? ?0 , 1 , 1 0 , 0 1 , 1 2 , 2 31 , 3xxxFxxxx???? ? ? ??? ??? ????? ????? 2020 智軒考研數(shù)學創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 39 評 注 由于分布函數(shù)右連續(xù)，故等號位置不能 放在小于號上。根據(jù) 〖 直 角分割法〗 ， 計算如下 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 0 0 .4 0 0 .41 1 1 0 0 .8 0 .4 0 .43 3 3 0 1 0 .8 0 .2P X F FP X F FP X F F? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? X 的概率分布 （即離散分布律） 為 X 1? 1 3 ip 【 例 10】 設隨機變量 X 的分布為 X 1 0 1 2 3 ip a b 當 ? 時， 求 X 的分布函數(shù) ??Fx和 ? ? ? ? ? ?2 1 , 0 , 1 . 2P X P X P X? ? ?和 2 1YX??的分布。又由于每一區(qū)間的 ??Fx為常數(shù)，故 X 具有離散型特征。 2020 智軒考研數(shù)學創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 38 【 例 9】 設 X 的分布函數(shù)為 ? ? ? ?0 , 10 . 4 , 1 10 . 8 , 1 31 , 3xxF x P X xxx???? ? ? ??? ? ? ? ???? ??，求 X 的概率分布。 如計算 12x??區(qū)間的 ??Fx， 先在 12x??區(qū)間內(nèi)任取一點 x ，然后，由 x 點向數(shù)軸左邊（往左邊畫是為了滿足 ? ?P X x? 的分布函數(shù)定義）畫一個直角區(qū)域，該直角區(qū)域與樣本空間的交集就是所求的 ??Fx，即把該直角區(qū)域包含全部樣本點的概率相加， 如為連續(xù)則相加變?yōu)榉e分。 參 見 浙大三版 附表 2~5。 0 , 0230 , 0 0 0 1 11 1 1 1 12 2 3 3P A P B P A B P X YP X Y P X P Y P A B P A BP A B P A P B P A B? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ????? ● 分位數(shù) ： 如無特別說明， 正態(tài)分布 專指下分位數(shù) ；三個抽樣分布專指上分為數(shù)。 設 XY ???????????， 大寫 X 表示隨機變量，小寫 x 表示隨機變量 X 取到的值。誤差產(chǎn)生的分布有： ? ?, Ua b ， ? ?2, N ?? 。此時分布 函數(shù)為 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?222112110 0 021~ 0 , 12txxxP X P Xx e d t XNxxP x X x???????????? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ????? ????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? 評 注 8 大分布產(chǎn)生的背景如下， 伯努利試驗產(chǎn)生的分布有： 01? 分布， ? ?, Bn p ， ? ?Gp，? ?, , H n M N 。 而且，根據(jù)中心極限定理，若干個未知分布的隨機變量之和近似地服從正態(tài)分布，它是數(shù)理統(tǒng)計的基礎，是概 率與數(shù)理統(tǒng)計 中的 第一大分布 。 如：測量產(chǎn)生的誤差；彈著點的位置；噪聲電壓；產(chǎn)品的尺寸等等均可認為近似地服從正態(tài)分布。試證明之。 ? ? ? ? ? ?, 0 1 , 0~ 0 , 0 0 , 0xxe x e xf x E F xxx??? ?????? ? ????????? 指數(shù)分布計算中常用 到 ? 函數(shù)： 如 ? ?01!nxn x e dx n?? ?? ? ? ?? 等等。 （ 7）指數(shù) 分布 ??E? 模 型 ：在實踐中，如果隨機變量 X 表示某一隨機事件發(fā)生所需 等待 的時間，則一般 ~ ( )XE? 。 解： x 有實根，則 ? ?2 4 0 2 amp。 解：服從超幾何分布 放回抽樣： ? ? ? ?12 , 0 , 1 , 2 , , m i n , ,kkabkabCCP X k k a b kC ?? ? ? 不放回抽樣： ? ? ? ?1 2 1 2 , 0 , 1 , 2 , , m i n , ,k k k kka b k a bkka b a bC C P C CP X k k a b kPC??? ? ? ? 可見： 超幾何分布遵循抽簽原理 。 （ 1）第一次打開；（ 2）第二次打開；（ 3）第三次打開； 解：服從幾何分布 ? ? ? ? 11 1 411 , 1 , 2 , 3 .55kk kP X k p p q p k?? ? ??? ? ? ? ? ? ????? （ 5） 超幾何分布 ? ?, , H n M N 模 型 ：隨機試驗結(jié)果只有兩種，如 N 件產(chǎn)品，其中有 M 件次品，從中取 n 件（ 不放回 和放回抽樣結(jié)果相等 ），含有 k 個次品的概率。 ? ? ? ? ? ?1 11 ~ , 1 , 2 , 3 ,k kP X k p p q p G p k? ?? ? ? ? ? 2020 智軒考研數(shù)學創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 34 【例 2】 袋中有 a 個白球， b 個紅球，從袋中先后取 出 k 個球， 放回 ， 求 第 k 次取到白球的概率。 【例 1】 某人進行射擊，命中率 ，獨立射擊 5000 次，求射擊中次數(shù)不少于兩次的概率。 例如：單位時間內(nèi)放射性物質(zhì)放射出的粒子數(shù)；單位時間內(nèi)某電話交換臺接到的呼喚次數(shù)； 單位時間內(nèi)走進商店的顧客數(shù)等等；均可認為它們服從泊松分布。 (1)在時間 內(nèi)流過質(zhì)點數(shù)的概率僅與 有關(guān)，與 t 無關(guān)； (2)不相交的時間間隔內(nèi)流過的質(zhì)點數(shù)彼此獨立； (3)在充分短的一瞬間只能流過一個或沒有質(zhì)點流過，要流過 2 個或 2 個以上質(zhì) 點幾乎是不 可能的。 2020 智軒考研數(shù)學創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 33 ? ? ? ?1 , 0 1P X p P X p q? ? ? ? ? ? 01 分布為： ? ? ? ? ? ?1 11 1 ~ 1 , , 0 , 1 .kk k k kP X k C p p p q B p k? ?? ? ? ? ? （ 2） 伯 努利二項分布 ? ?, Bn p 模 型 ：隨機試驗結(jié)果只有兩種，如每次 A 發(fā)生的概率為 p ，共 試驗 了 n 次，求其中 A 發(fā)生 k 次的概率（ 放回抽樣 ）。 一維隨機變量的 8 大分布（ 3 個離散分布 +5 個連續(xù) 分布） （ 1） 兩點分布（又稱 01 分布） ? ?1, Bp 模 型 ： 伯努利 試驗變量 X 只有兩種可能結(jié)果 （對立） ，隨機變量 X 使 用 0 與 1 兩種取值。 正 確 。 0 10 , 0 , 錯 誤 ；錯 誤 ； 取 錯 誤 。A f x f x X B f x f x XC F x F x X D F x F x X?? 解：選 ??D 。 必 為 某 一 的 分 布 函 數(shù) 。 評 注 設 1X 和 2X 是任意兩個獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別為 ? ? ? ?12, f x f x ；分布函數(shù)分別為 ? ? ? ?12, F x F x ，則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 21 2 1 2 必 為 某 一 的 概 率 密 度 。 2020 智軒考研數(shù)學創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 32 ??4 如果 X 為連續(xù)型，則 Y aX b??也是連續(xù)型，且 ? ? 1YXybf y faa???? ????，若 如果 X 為離散型，則 Y aX b??卻不一定為離散型 ，如 X 服從 泊松分布 ， Y aX b??就 不再 是 泊松分布 。 ??2 若 ? ? ? ? ? ?1 2 n, , , F x F x F x均是分布函數(shù)，則當 10, 1ni