【正文】 xf x f x d x f x d x f x d x AF F Cxxf x f x f x f x Bo the r o the rX M a x X X F x P X x P M a x X X x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2。 ? ? ? ? ? ?~ , , , 0 , 1 , 2 , , m i n ,k n kM N MnNCCP X k H n M N k M nC ??? ? ? 【 例 4】 袋中有 a 個白球， b 個紅球，從袋中先后取 k 個球 ， 求 含有 1k 個白球和 2k 紅球概率。泊松流產(chǎn)生的分布有： ??P? ， ??E? 。 解： 上表顯然為離散分布正概率點的值。 解： 由于 23YX??不滿足處處可導(dǎo)，故采用 一般解法： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?3223323223 3 1 12 2 2 33122yY X XY Y XyyF y P Y y P X y P X F f x dxyyf y F y fyy?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ????????????? 【例 13】設(shè)隨機變量 ~ , 22XU ?????????，求 sinYX? 的分布密度 ??Yfy。 【 例 20】 設(shè)隨機 變量 X 的概率密度為 ? ? ? ?3 21 , 1 , 830 , xfx xothe r? ??? ???，求 ? ?Y F X? 的分布函數(shù) ? ?YGy。 10．設(shè) X 服從 [0， 1]上的均勻分布，則隨機變量 2lnYX?? 的概率密度為 _______， ? ?2 ln 1 ZX?? ? 的概率密度為 ________。 8．設(shè)隨機變量 X 的概率密度為 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 50 1 , 1 0 ,( ) 1 , 0 1,0 , .Xxxf x x x? ? ? ? ??? ? ? ???? 其 他 求 2 1YX??的分布函數(shù)。 4．設(shè) 10件產(chǎn)品中有 7件正品、 3 個次品，現(xiàn)隨機地從中抽取產(chǎn)品，每次抽 1 件，直到抽到正品為止，求： （ 1）有放回抽取下，抽取次數(shù)的分布律與分布函數(shù)； （ 2）無放回抽取下，抽取次數(shù)的分布律與分布函數(shù)。 6． 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為 , 0 1 ,( ) 2 , 1 2 ,0 , .xxf x x x????? ? ? ???? 其 他 則 13()22PX? ? ?____。 ?。?12ab?? ， 并令 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?11120 , 00 , 0, , 0 11 , 01 , 10 , 01 1 1, 0 12 2 21 , 1xxF x F x x xxxxxF x F x F x xx???? ?? ? ? ????? ?????? ??? ? ? ? ? ?????? 由于 ??Fx是不連續(xù)的分段函數(shù)，故即不是離散型，又不是連續(xù)型。 新增 例子 2： 設(shè)隨機變量 ,X Y 的聯(lián)合分布是正方形 ? ?? ?, | 1 3 , 1 3 G x y x y? ? ? ? ?上的均勻分布，求 U X Y??的概率密度。 解：由于 ??Fx要求右連續(xù)，故等號必須加在 ? 號上。 盡管它來源于連續(xù)型，但它是任何分布 在樣本數(shù)一般大于 45 時的極限分布 。 解：服從二項分布，但由于次數(shù)很大，可用泊松分布計算 ? ? !kP X k ek ?? ??? ? ? ? ? ? ? 015 5 5 50 . 0 0 1 5 0 0 0 5552 1 0 1 1 1 50 ! 1 !P X P X P X e e e e?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 4）幾何 分布 ? ?Gp 模 型 ：隨機試驗結(jié)果只有兩種，如每次 A 發(fā)生的概率為 p ， 試驗一直繼續(xù)， 直到 A 發(fā)生為止，求 第 k 次（ 放回抽樣 ） A 才發(fā)生 的概率。 必 為 某 一 的 分 布 函 數(shù) 。要求掌握的離散2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 31 性分布律有 5 種 ： 01? 分布，伯努利二項分布，泊松分布，幾何分布和超幾何分布。 它就是 X 落在任意區(qū)間 ? ?,x?? 上的概率，本質(zhì)上是一個 累積函數(shù) ， 對于離散點，采用疊加，對于連續(xù)點，使用一元積分 。 3． 了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會用泊松分布近似表示二項分布。 0 且 F x F x F x F x? ? ? ?????。 ● 連續(xù)型 ??Fx具有下列性質(zhì) ??a 連續(xù)型 ??Fx是連續(xù)函數(shù) （左右均連續(xù)） ，即： ? ? ? ?0F x F x?? ； ??b 連續(xù)型 ??Fx幾何意義是面積，且： ? ?0 0F x x??； ??c ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 0F f t dt F f t dt? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ??? ??d 要求掌握的 連續(xù)型分布函共有 3 種 ：均勻分布，指數(shù)分布和正態(tài)分布。 正 確 。 解：服從超幾何分布 放回抽樣： ? ? ? ?12 , 0 , 1 , 2 , , m i n , ,kkabkabCCP X k k a b kC ?? ? ? 不放回抽樣： ? ? ? ?1 2 1 2 , 0 , 1 , 2 , , m i n , ,k k k kka b k a bkka b a bC C P C CP X k k a b kPC??? ? ? ? 可見： 超幾何分布遵循抽簽原理 。誤差產(chǎn)生的分布有： ? ?, Ua b ， ? ?2, N ?? 。 根據(jù)概率歸一化： 1 0 . 2 5 0 . 1 5 0 . 3 5 0 . 2 5 0 . 0 5a b b a? ? ? ? ? ? ? ? ? 利用直角分割法，如計算區(qū)間 12x??的 ??Fx ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1 0 . 6F x P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ?， 其 余 區(qū)間 類推，故： ? ?0 , 1 , 1 0 , 0 1 , 1 2 , 2 31 , 3xxxFxxxx???? ? ? ??? ??? ????? ????? 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 39 評 注 由于分布函數(shù)右連續(xù)，故等號位置不能 放在小于號上。 解 法 ： 公式法 ? ? 1 , , 220, xfx ???? ????? ??? ????? 其 它， 而 sinyx? 在 , 22?????????存在反函數(shù) arcsinxy? 且211yx y? ? ? ，使用公式法 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?112, , 0 , 1, 1 , 1a r c sin a r c sin a r c sin , 1 , 1 10 , 0 , XYXXf g y g y y a bfxothe ryf y x f y y yyothe r othe r???? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??????? ?? ??? ? ????? ???? ? 【例 14】 已知隨機變量 X 的 服從 ? ?0, ? 上的均勻分布， 求 sinYX? 的概率密度。 解：顯然， ? ? ? ?1 0 。 二．選擇題 1．下列函數(shù)中能夠作為分布函數(shù)的是 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 48 （ A）0 , 1,1( ) , 1 2 ,31, 2.xF x xx?????? ? ? ?????? （ B） 0 , 0 ,() ln (1 ), 0 .1xFx x xx???? ?? ???? （ C）0 , 0 ,2( ) , 0 2 ,51, 2 .xxF x xx??? ??? ? ?????? （ D） 0 , 0 ,( ) s in , 0 ,1, .xF x x xx?????? ? ????? [ ] 2．設(shè)隨機變量 2( 2020 , 2020 ),XN 而且 C 滿足 ( ) ( )P X C P X C? ? ?，則 C 等于 （ A） 0 （ B） 2020 （ C） 1998 （ D） 2020 [ ] 3．設(shè) 2 2() xxf x ke??? 為一概率密度，則 k 的值為 （ A） 1e?? （ B） 1? （ C） 12 （ D） 2? [ ] 4．下列命題正確的是 （ A）連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。 9． 設(shè)隨機變量 X的分布函數(shù) ()XFx為嚴(yán)格 單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)， Y服從 [0， 1]上的均勻分布，證明隨機變量 1()XZ F Y?? 的分布函數(shù)與 X 的分布函數(shù)相同。 3．一個袋中有 5 只球，編號 1， 2， 3， 4， 5，在其中同時取 3只，以 X表示取出的 3 只球中的最大號碼，求 X 的分布律。 5． 設(shè) 2( , ), ( )X N F x?? 為其分布函數(shù)，則對任意實數(shù) a ，有 ( ) ( )F a F a??? ? ? ?____。 證明：分布函數(shù)的三個基本條件： （ 1） ? ? ? ?1 2 1 2x x F x F x? ? ? 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 44 （ 2） ? ? ? ?li m 0 , li m 1xxF x F x? ?? ? ???? （ 3） ? ? ? ?0F x F x?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 1 2 2 1 2 21 1 1 2 1 1 2 2 2 212121 2 1 2, l i m l i m 0l i m l i m 10 0 0xxxxx x F x F x F x F xF x aF x bF x aF x bF x F xF x aF x bF xF x aF x bF x a bF x aF x bF x aF x bF x F x? ?? ? ??? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 所以， ??Fx也是分布函數(shù) 。 y F y y F y? ? ? ? ? ? 當(dāng) 01y??時， ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?11F y P Y y P F Z y P Z F y F F y y?? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?0 , 0 1 , 0 1, 0 1 ~ 0 , 10,1, y yF y y y f y Uot he ry?? ????? ? ? ? ? ??? ???。 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 38 【 例 9】 設(shè) X 的分布函數(shù)為 ? ? ? ?0 , 10 . 4 , 1 10