【導讀】如圖，在四棱錐OABCD?中，底面ABCD四邊長為1的菱形，4ABC???,M為OA的中點，N為BC的中點。（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大??；（Ⅲ）求點B到平面OCD的距離。于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為,,xyz軸建立坐標系。設平面OCD的法向量為(,,)nxyz?設點B到平面OCD的距離為d,則d為OB在向量n?上的投影的絕對值,（２）AB平面∵∴‖OCD,點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作AQOP?如圖，在三棱錐PABC?EC是BE在平面PAC內的射影，CEAP??（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB?

　　

【正文】 PQEF所成角的正弦值． 解法一： （Ⅰ）證明：在正方體中， AD AD??? ， AD AB?? ， 又由已知可得 PF AD?∥ ， PH AD?∥ ， PQ AB∥ ， 所以 PH PF? ， PH PQ? ，所以 PH? 平面 PQEF ． 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直． （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知 22P F A P P H P A ???， ，又截面 PQEF和截面 PQGH都是矩形，且 PQ=1， 所以截面 PQEF和截面 PQGH面積之和是 ( 2 2 ) 2A P P A P Q?? ? ?，是定值 ． 8分 A B C D E F P Q H A? B? C? D? G 第 29 頁 共 55 頁 （Ⅲ）解：設 AD? 交 PF 于點 N ，連結 EN ， 因為 AD?? 平面 PQEF ， 所以 DEN?∠ 為 DE? 與平面 PQEF 所成的角． 因為 12b? ，所以 P Q E F， ， ， 分別為 AA? ， BB? ， BC ， AD 的中點． 可知 324DN? ? ， 32DE? ? ． 所以3224sin3 22D E N? ??∠ ． 解法二： 以 D為原點，射線 DA， DC， DD′分別為 x， y， z軸的正半軸建立如圖的空間 直角坐標系 D－ xyz．由已知得 1DF b?? ，故 (100)A， ， ， (101)A? ， ， ， (000)D ， ， ， (001)D? ， ， ， (10 )Pb， ， ， (11 )Qb， ， ， (1 10)Eb? ， ， ， (1 00)Fb? ， ， ， ( 11)Gb， ， ， ( 01)Hb， ， ． （Ⅰ）證明：在所建立的坐標系中，可得 ( 0 1 0 ) ( 0 )P Q P F b b? ? ? ?， ， ， ， ， ( 1 0 1 )PH b b? ? ?， ， ， ( 1 0 1 ) ( 1 0 1 )A D A D??? ? ? ? ?， ， ， ， ，． 因為 00A D P Q A D P F????， ，所以 AD? 是平面 PQEF的法向量 ． 因為 00A D P Q A D P H????， ，所以 AD? 是平面 PQGH的法向量 ． 因為 0AD A D??? ，所以 AD AD??? ，所以平面 PQEF和平面 PQGH互相垂直． … 4分 （Ⅱ）證明：因為 (0 10)EF ??， ， ，所以 E F P Q E F P Q∥ ， =，又 PF PQ? ， 所以 PQEF為矩形，同理 PQGH為矩形 ． 在所建立的坐標系中可求得 2(1 )PH b??， 2PF b? ， A B C D E F P Q H A? B? C? D? y x z G A B C D E F P Q H A? B? C? D? G N 第 30 頁 共 55 頁 所以 2PH PF??，又 1PQ? ， 所以截面 PQEF和截面 PQGH面積之和為 2 ，是定值 ． （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知 ( 101)AD???， ， 是平面 PQEF 的法向量． 由 P 為 AA? 中點可知， Q E F， ， 分別為 BB? ， BC ， AD 的中點． 所以 1102E??????， ， 1 112DE ??? ??????， ，因此 DE? 與平面 PQEF 所成角的正弦值等于 2| c o s | 2A D D E??? ? ?， ． 第 31 頁 共 55 頁 66．（全國Ⅰ 18）（ 本小題滿分 12分） 四棱錐 A BCDE? 中，底面 BCDE 為矩形，側面 ABC? 底面 BCDE ， 2BC? ， 2CD? ， AB AC? ． （ Ⅰ ）證明： AD CE? ； （ Ⅱ ）設 CE 與平面 ABE 所成的角為 45 ，求二面角 C AD E??的大?。? 解：（ 1）取 BC 中點 F ，連接 DF 交 CE 于點 O ， AB AC? ， ? AF BC? ， 又面 ABC? 面 BCDE ， ? AF? 面 BCDE ， ? AF CE? ． 2t a n t a n 2C E D F D C? ? ? ?， ? 90O E D O D E? ? ? ?， 90DOE?? ? ，即 CE DF? ， CE??面 ADF ， CE AD??． （ 2）在面 ACD 內過 C 點作 AD 的垂線，垂足為 G ． CG AD? ， CE AD? ， AD??面 CEG ， EG AD??， 則 CGE? 即為所求二面角的平面角． 233A C C DCG AD??， 63DG? ， 22 303E G D E D G? ? ?， 6CE? ，則 2 2 2 10c o s 2 1 0C G G E C EC G E C G G E??? ? ? ?， 10π a r c c os 10C GE ??? ? ? ? ????，即二面角 C AD E??的大小 10π arccos10??? ????． C D E A B F O G A C D E B 18 題圖 第 32 頁 共 55 頁 67.（全國Ⅰ文 18） 四棱錐 A BCDE? 中，底面 BCDE 為矩形，側面 A B C B C D E? 底 面 ，2BC? ， 2CD? ， AB AC? ． （ Ⅰ ）證明： AD CE? ； （Ⅱ）設側面 ABC 為等邊三角形，求二面角 C AD E??的大小 . 解：（ Ⅰ ） B C H D H A H A C A B A H B C?取 中 點 為 ， 連 接 ， ， 則 ＝ ， ∴ A B C B C D E B C A H B C D E??又 ∵ 平 面 平 面 ， 且 交 線 為 ， ∴ 平 面 ， H D A D B C D E∴ 即 為 在 平 面 內 的 射 影， 1 2 2t a n H D C = = t a n E C D = = 2222??∵ H D C + E C D = 9 0 C E H D A D C E (? ? ? ? ? ? ?∴ 三 垂 線 定 理 ） （Ⅱ） ,A D C E C C G A D A D G G E? ? ?由 第 ⑴ 問 知 過 作 交 于 ， 連 結 ，AD CGE?則 平 面 ， A D G E C G E? ? ? ?， 即 為 所 求 二 面 角 的 平 面 角 （ 利 用 了 定 義 法 ） B C C D A C C D A C D A B E? ? ? ?由 于 ， ， 為 直 角 三 角 形 ， 同 理 ， 也 為 直 角 三 角 形 2 2 2 32 , 2 , 6 324A C B C C G A C C DC D A D AD? ? ? ? ??? ? ??由 ＝ ＝ 2 4 6CE＝ ＋ ＝ A B E 6 6 4 26 c o s 2 6 3AE D A E? ?在 Rt 中 ， ＝ ＋ －， ＝ ＝ ， s in 451 93D A E?? ?∴ － ,1 5 1 3 06 6 62 3 2 3S G E G E? ? ? ? ? ? ??∴ ＝ 2 2 2c o s 10 ,2 1 0C G E C G G E C EC G G E? ? ? ? ?? －－ a r c c o s 1010??????所 以 所 求 的 二 面 角 為 － HAC DEBGC D E A B 第 33 頁 共 55 頁 68.（全國Ⅱ理 19 文 20）（本小題滿分 12分） 如圖，正四棱柱 1 1 1 1ABC D A B C D? 中， 1 24AA AB??，點 E 在 1CC 上且 ECEC 31 ? ． （ Ⅰ ）證明： 1AC? 平面 BED ； （ Ⅱ ）求二面角 1A DE B??的大?。? 解法一：依題設知 2AB? ， 1CE? ． （ Ⅰ ）連結 AC 交 BD 于點 F ，則 BD AC? ． 由三垂線定理知， 1BD AC? ． 在平面 1ACA 內，連結 EF 交 1AC 于點 G ， 由于 1 22AA ACFC CE??， 故 1R t R tA AC FC E△ ∽ △， 1AA C CFE? ? ? ， CFE? 與 1FCA? 互余．于是 1AC EF? ． 1AC 與平面 BED 內兩條相交直線 BD EF， 都垂直， 所以 1AC ? 平面 BED ． （ Ⅱ ）作 GH DE? ，垂足為 H ，連結 1AH ．由三垂線定理知 1AH DE? ， 故 1AHG? 是二面角 1A DE B??的平面角． 22 3E F C F C E? ? ?， 23C E C FCG EF???， 22 33E G C E C G? ? ?． 13EGEF? ， 123 15E F F DGH DE?? ? ?． 又 2211 26A C A A A C? ? ?，11 563A G A C C G? ?． 11ta n 5 5AGA H G HG? ? ?． 所以二面角 1A DE B??的大小為 arctan5 5 ． A B C D E A1 B1 C1 D1 A B C D E A1 B1 C1 D1 F H G 第 34 頁 共 55 頁 解法二： 以 D 為坐標原點，射線 DA 為 x 軸的正半軸， 建立如圖所示直角坐標系 D xyz? ． 依題設， 1( 2 2 0 ) ( 0 2 0 ) ( 0 2 1 ) ( 2 0 4 )B C E A， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． ( 0 2 1) (2 2 0 )D E D B??， ， ， ， ， 11( 2 2 4 ) ( 2 0 4 )A C D A? ? ? ?， ， ， ， ，． （ Ⅰ ）因為 1 0AC DB? ， 1 0AC DE? ， 故 1AC BD? ， 1AC DE? ． 又 DB DE D? ， 所以 1AC? 平面 DBE ． （ Ⅱ ）設向量 ()x y z? ， ，n 是平面 1DAE 的法向量，則 DE?n ， 1DA?n ．故 20yz?? ， 2 4 0xz??． 令 1y? ，則 2z?? ， 4x? ， (41 2)??， ，n ． 1AC，n等于二面角 1A DE B??的平面角， 11114c o s 42ACACAC??，nnn． 所以二面角 1A DE B??的大小為 14arccos 42 ． A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 第 35 頁 共 55 頁 70.（山東理 20）（本小題滿分 12分） 如圖，已知四棱錐 P ABCD? ，底面 ABCD 為菱形， PA? 平面 ABCD ， 60ABC??， EF， 分別是 BC PC， 的中點． （ Ⅰ ）證明： AE PD? ； （ Ⅱ ）若 H 為 PD 上的動點， EH 與平面 PAD 所成最大角的正切值為62 ，求二面角 E AF C??的余弦值． 解：（ Ⅰ ）證明：由四邊形 ABCD 為菱形， 60ABC??，可得 ABC△ 為正三 角形． 因為 E 為 BC 的中點，所以 AE BC? ．又 BC AD∥ ，因此 AE AD? ． 因為 PA? 平面 ABCD ， AE? 平面 ABCD ，所以 PA AE? ． 而 PA? 平面 PAD ， AD? 平面 PAD 且 PA AD A? ， 所以 AE? 平面 PAD ．又 PD? 平面 PAD ，所以 AE PD? ． （ Ⅱ ）解：設 2AB? ， H 為 PD 上任意一點，連接 AH EH， ． 由（ Ⅰ ）知 AE? 平面 PAD ，則 EHA? 為 EH 與平面 PAD 所成的角． 在 Rt EAH△ 中， 3AE? ，所以當 AH 最短時， EHA? 最大， 即當 AH PD? 時， EHA? 最大． 此時 36t a n 2AEE H A A H A H? ? ? ?， 因此 2AH? ．又 2AD? ， 所以 45ADH??，所以 2PA? ． 解法一：因為 PA? 平面 ABCD ， PA? 平面 PAC ， 所以平面 PAC? 平面 ABCD ． 過 E 作 EO AC? 于 O ，則 EO? 平面 PAC ， 過 O 作 OS AF? 于 S ，連接 ES ，則 ESO? 為二面角 E AF C??的平面角， 在 Rt AOE△ 中， 3s in 3 0 2E O A E??， 3c o s 3 0 2A O A E??， 又 F 是 PC 的中點，在 Rt ASO△ 中， 32s in 4 5 4S O A O??， 又 22 3 9 3 04 8 4S E E O S O? ?