【正文】 第 1 頁(yè) 共 55 頁(yè) NMABDCOQENMABDCOP2020 高考試卷分類匯編 07立體幾何 2 三、解答題 47．（安徽理 18） （本小題共 12 分） 如圖，在四棱錐 O ABCD? 中，底面 ABCD 四邊長(zhǎng)為 1的菱形， 4ABC ???, OA ABCD? 底 面 , 2OA? ,M 為 OA 的中點(diǎn)， N 為 BC 的中點(diǎn) （ Ⅰ ）證明：直線 MN OCD平 面‖ ； （ Ⅱ ）求異面直線 AB與 MD所成角的大?。? （ Ⅲ ）求點(diǎn) B到平面 OCD的距離。 解： 方法一（綜合法） （ 1）取 OB中點(diǎn) E，連接 ME， NE M E C D M E C D?，‖ A B ,A B ‖ ‖ 又 ,N E O C M N E O C D? 平 面 平 面‖ ‖ M N O C D? 平 面‖ （ 2） CD‖ AB, MDC?∴ 為異面直線 AB 與 MD 所成的角（或其補(bǔ)角） 作 ,AP CD P? 于 連接 MP ??平 面 A B C D ，∵ OA ∴ C D M P 2,42A D P ???∵ ∴ DP = 22 2M D M A A D? ? ?， 1c o s ,23DPM D P M D C M D PMD ?? ? ? ? ? ? ?∴ 所以 AB 與 MD 所成角的大小為 3? （ 3） AB 平 面∵ ∴‖ OCD,點(diǎn) A和點(diǎn) B到平面 OCD的距離相等，連接 OP,過(guò)點(diǎn) A作 AQ OP? 于點(diǎn) Q， , , ,A P C D O A C D C D O A P A Q C D? ? ? ?平 面∵ ∴ ∴ 又 ,A Q O P A Q O C D?? 平 面∵ ∴ ,線段 AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn) A到平面 OCD的距離 第 2 頁(yè) 共 55 頁(yè) x yzNMABDCOP 2 2 2 2 2 1 3 24122O P O D D P O A A D D P? ? ? ? ? ? ? ? ?∵， 22AP P?? 22223322O A A PAQOP? ? ?∴，所以點(diǎn) B到平面 OCD的距離為 23 方法二 (向量法 ) 作 AP CD? 于點(diǎn) P,如圖 ,分別以 AB,AP,AO所在直線為 ,xyz 軸建立坐標(biāo)系 2 2 2 2 2( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( , , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 ,1 ) , ( 1 , , 0 )2 2 2 4 4A B P D O M N??, (1) 2 2 2 2 2( 1 , , 1 ) , ( 0 , , 2 ) , ( , , 2 )4 4 2 2 2M N O P O D? ? ? ? ? ? ? ? 設(shè)平面 OCD的法向量為 ( , , )n x y z? ,則 0, 0n O P n O D?? 即 2 20222 2022yzx y z? ??????? ? ? ??? 取 2z? ,解得 (0,4, 2)n? 22(1 , , 1 ) ( 0 , 4 , 2 ) 044M N n ? ? ? ?∵ M N O C D? 平 面‖ (2)設(shè) AB 與 MD 所成的角為 ? , 22(1 , 0 , 0 ) , ( , , 1 )22A B M D? ? ? ?∵ 1c o s ,23A B M DA B M D???? ? ??∴ ∴ , AB 與 MD 所成角的大小為 3? (3)設(shè)點(diǎn) B到平面 OCD的距離為 d ,則 d 為 OB 在向量 (0,4, 2)n? 上的投影的絕對(duì)值 , 由 (1,0, 2)OB ??, 得 23OB ndn???.所以點(diǎn) B到平面 OCD的距離為 23 第 3 頁(yè) 共 55 頁(yè) MABDCOQMABDCOP48．（安徽文 19） （本小題共 12 分） 如圖，在四棱錐 O ABCD? 中，底面 ABCD 四邊長(zhǎng)為 1的 菱形， 4ABC ???, OA ABCD? 底 面 , 2OA? ,M 為 OA 的中點(diǎn)。 （ Ⅰ ）求異面直線 AB與 MD所成角的大小 ； （ Ⅱ ）求點(diǎn) B到平面 OCD的距離。 解：方法一（綜合法） （ 1） CD‖ AB, MDC?∴ 為異面直線 AB 與 MD 所成的角 （或其補(bǔ)角） 作 ,AP CD P? 于 連接 MP ??平 面 A B C D ，∵ OA ∴ C D M P 2,42A D P ???∵ ∴ DP = 22 2M D M A A D? ? ?∵ ， 1c o s ,23DPM D P M D C M D PMD ?? ? ? ? ? ? ?∴ 所以 AB 與 MD 所成角的大小為 3? （２） AB 平 面∵ ∴‖ OCD,點(diǎn) A和點(diǎn) B到平面 OCD的距離相等， 連接 OP,過(guò)點(diǎn) A作 AQ OP? 于點(diǎn) Q， , , ,A P C D O A C D C D O A P? ? ? 平 面∵ ∴ ,A Q O A P A Q C D??平 面∵ ∴ 又 ,A Q O P A Q O C D?? 平 面∵ ∴ ,線段 AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn) A到平面 OCD的距離 2 2 2 2 2 1 3 24122O P O D D P O A A D D P? ? ? ? ? ? ? ? ?∵， 22AP P?? 22223322O A A PAQOP? ? ?∴ ，所以點(diǎn) B到平面 OCD的距離為 23 第 4 頁(yè) 共 55 頁(yè) x yzMABDCOP方法二 (向量法 ) 作 AP CD? 于點(diǎn) P,如圖 ,分別以 AB,AP,AO所在直線為 ,xyz 軸建立坐標(biāo)系 2 2 2( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( , , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 , 1 )2 2 2A B P D O M?, (1)設(shè) AB 與 MD 所成的角為 ? , 22(1 , 0 , 0 ) , ( , , 1 )22A B M D? ? ? ?∵ 1c o s ,23A B M DA B M D???? ? ??∴ ∴ , ∴ AB 與 MD 所成角的大小為 3? (2) 2 2 2( 0 , , 2 ) , ( , , 2 )2 2 2O P O D? ? ? ? ?∵ ∴ 設(shè)平面 OCD的法向量為 ( , , )n x y z? ,則 0, 0n O P n O D?? 即 2 20222 2022yzx y z? ??????? ? ? ??? 取 2z? ,解得 (0,4, 2)n? 設(shè)點(diǎn) B到平面 OCD的距離為 d ,則 d 為 OB 在向量 (0,4, 2)n? 上的投影的絕對(duì)值 , (1,0, 2)OB ??∵ , 23OB ndn???∴ . 所以點(diǎn) B到平面 OCD的距離為 23 第 5 頁(yè) 共 55 頁(yè) 49（北京理 16）．（本小題共 14 分） 如圖，在三棱錐 P ABC? 中， 2AC BC??， 90ACB??， AP BP AB??， PC AC? ． （ Ⅰ ）求證： PC AB? ； （ Ⅱ ）求二面角 B AP C??的大小； （ Ⅲ ）求點(diǎn) C 到平面 APB 的距離． 解法一： （ Ⅰ ）取 AB 中點(diǎn) D ，連結(jié) PD CD， ． AP BP? ， PD AB??． AC BC? ， CD AB??． PD CD D? ， AB??平面 PCD ． PC? 平面 PCD ， PC AB??． （ Ⅱ ） AC BC? ， AP BP? ， APC BPC?△ ≌ △ ． 又 PC AC? ， PC BC??． 又 90ACB??，即 AC BC? ，且 AC PC C? ， BC??平面 PAC ． 取 AP 中點(diǎn) E ．連結(jié) BE CE， ． AB BP? ， BE AP??． EC 是 BE 在平面 PAC 內(nèi)的射影， CE AP??． BEC?? 是二面角 B AP C??的平面角． 在 BCE△ 中， 90BCE??， 2BC? ， 3 62BE AB??， 6s in 3BCBEC BE? ? ? ?． ?二面角 B AP C??的大小為 6arcsin 3 ． （ Ⅲ ）由（ Ⅰ ）知 AB? 平面 PCD ， ?平面 APB? 平面 PCD ． 過(guò) C 作 CH PD? ，垂足為 H ． 平面 APB 平面 PCD PD? ， CH??平面 APB ． CH? 的長(zhǎng)即為點(diǎn) C 到平面 APB 的距離． 由（ Ⅰ ）知 PC AB? ，又 PC AC? ，且 AB AC A? ， PC??平面 ABC ． CD? 平面 ABC ， PC CD??． A C B P A C B D P A C B E P A C B D P H 第 6 頁(yè) 共 55 頁(yè) 在 Rt PCD△ 中， 1 22CD AB??， 3 62PD PB??， 22 2P C P D C D? ? ? ?． 233P C C DCH PD? ? ?． ?點(diǎn) C 到平面 APB 的距離為 233 ． 解法二： （ Ⅰ ） AC BC? ， AP BP? ， APC BPC?△ ≌ △ ． 又 PC AC? ， PC BC??． AC BC C? ， PC??平面 ABC ． AB? 平面 ABC ， PC AB??． （ Ⅱ ）如圖，以 C 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 C xyz? ． 則 (0 0 0 ) (0 2 0 ) ( 2 0 0 )C A B， ， ， ， ， ， ， ，．設(shè) (00 )Pt， ， ． 22P B A B??， 2t??， (002)P ， ， ． 取 AP 中點(diǎn) E ，連結(jié) BE CE， ． AC PC? ， AB BP? ， CE AP??， BE AP? ． BEC?? 是二面角 B AP C??的平面角． (011)E ， ， ， (0 1 1)EC ? ? ?， ， ， (2 1 1)EB ? ? ?， ， ， 23c o s 326E C E BBECE C E B? ? ? ? ?． ?二面角 B AP C??的大小為 3arccos 3 ． （ Ⅲ ） AC BC PC??， C? 在平面 APB 內(nèi)的射影為正 APB△ 的中心 H ，且 CH 的長(zhǎng)為點(diǎn) C 到平面 APB 的距離． 如（ Ⅱ ）建立空間直角坐標(biāo)系 C xyz? ． 2BH HE? ， ?點(diǎn) H 的坐標(biāo)為 222333??????， ， ． 233CH??． ?點(diǎn) C 到平面 APB 的距離為 233 ． A C B P z x y H E 第 7 頁(yè) 共 55 頁(yè) 50．（北京文 16）（本小題共 14 分） 如圖，在三棱錐 P ABC? 中， 2AC BC??， 90ACB??， AP BP AB??， PC AC? ． （ Ⅰ ）求證： PC AB? ； （ Ⅱ ）求二面角 B AP C??的大小． 解：解法一： （ Ⅰ ）取 AB 中點(diǎn) D ，連結(jié) PD CD， ． AP BP? ， PD AB??． AC BC? ， CD AB??． PD CD D? ， AB??平面 PCD ． PC? 平面 PCD ， PC AB??． （ Ⅱ ） AC BC? ， AP BP? ， APC BPC?△ ≌ △ ． 又 PC AC? ， PC BC??． 又 90ACB??，即 AC BC? ， 且 AC PC C? ， BC??平面 PAC ． 取 AP 中點(diǎn) E ．連結(jié) BE CE， ． AB BP? ， BE AP??． EC 是 BE 在平面 PAC 內(nèi)的射影， CE AP??． BEC?? 是二面角 B AP C??的平面角． 在 BCE△ 中， 90BCE??， 2BC? ， 3 62BE AB??， 6s in 3BCBEC BE? ? ? ?． ?二面角 B AP C??的大小為 6arcsin 3 ． 解法二： （ Ⅰ ） AC BC? ， AP BP? ， APC BPC?△ ≌ △ ． 又 PC AC? ， PC BC??． AC BC C? ， PC??平面 ABC ． AB? 平面 ABC ， PC AB??． A C B P A C B D P A C B E P