空間向量與立體幾何高考題匯編(已修改)
2025-08-17 10:17 本頁(yè)面
【正文】 1.（2009北京卷）（本小題共14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小.解:如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)則，（Ⅰ）∵，∴，∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，∴平面.（Ⅱ）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)， 設(shè)AC∩BD=O，連接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO為AE與平面PDB所的角， ∵，∴，∴，即AE與平面PDB所成的角的大小為.2.(2009山東卷)（本小題滿分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如圖，在直四棱柱ABCDABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。（1） 證明：直線EE//平面FCC；（2） 求二面角BFCC的余弦值。 解法二:（1）因?yàn)锳B=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點(diǎn),E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形, 因?yàn)锳BCD為等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60176。,取AF的中點(diǎn)M,連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D（0,0,0）,A（,1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,1,1）,所以,設(shè)平面CC1F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE//平面FCC. （2）,設(shè)平面BFC1的法向量為,則所以,取,則, 所以,由圖可知二面角BFCC為銳角,所以二面角BFCC的余弦值為. 3.（2009全國(guó)卷Ⅱ）（本小題滿分12分） 如圖，直
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