空間向量法解決立體幾何問(wèn)題全面總結(jié)(已修改)
2025-12-02 22:52 本頁(yè)面
【正文】 利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題 數(shù)學(xué)專(zhuān)題二 學(xué)習(xí)提綱 二、立體幾何問(wèn)題的類(lèi)型及解法 判斷直線(xiàn)、平面間的位置關(guān)系； (1)直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系 。 (2)直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系 。 (3)平面與平面的位置關(guān)系 。 求解空間中的角度； 求解空間中的距離。 直線(xiàn)的方向向量； 平面的法向量 。 一、引入兩個(gè)重要空間向量 一 .引入兩個(gè)重要的空間向量 把 直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱(chēng)為 直線(xiàn)的方向向量 .如圖 ,在空間直角坐標(biāo)系中 ,由 A(x1,y1,z1)與 B(x2,y2,z2)確定的直線(xiàn) AB的方向向量是 2 1 2 1 2 1( , , )A B x x y y z z? ? ? ?z x y A B ? 如果表示向量 n的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)垂直于平面 α,稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面 α,記作 n⊥ α,這時(shí)向量 n叫做 平面 α的法向量 . α n ? ,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢 ? ? 如圖 ,設(shè) a=( x1,y1,z1)、 b=(x2,y2,z2)是平面 α內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量 ,由直線(xiàn)與平面垂直的判定定理知 ,若 n⊥ a且 n⊥ b,則 n⊥ 說(shuō) ,若 na = 0且 nb = 0,則 n⊥ α. a b n α (1)求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟 : ? 第一步 (設(shè) ):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為 n=(x,y,z). ? 第二步 (列 ):根據(jù) na = 0且 nb = 0可列出方程組 ? 第三步 (解 ):把 z看作常數(shù) ,用 z表示 x、 y. ? 第四步 (取 ):取 z為任意一個(gè)正數(shù) (當(dāng)然取得越特 殊越好 ),便得到平面法向量 n的坐標(biāo) . 1 1 12 2 200x x y y z zx x y y z z? ? ??? ? ? ??? 例 1在棱長(zhǎng)為 2的正方體 ABCDA1B1C1D1中 ,O是面 AC的中心 ,求面 OA1D1的法向量 . A A B C D O A1 B1 C1 D1 z x y 解：以 A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz, 設(shè)平面 OA1D1的法向量的法向量為 n=(x,y,z), 那么 O(1， 1， 0)， A1(0， 0， 2)， D1(0， 2， 2) 得平面 OA1D1的法向量的坐標(biāo) n=(2,0,1). 取 z =1 20xzy??? ??解得 : 2020x y zx y z? ? ? ???? ? ? ??得 : 1OA 1OD由 =（ 1， 1， 2）， =（ 1， 1， 2） (2)求平面的法向量的坐標(biāo)的特殊方法 : ? 第一步 :寫(xiě)出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向量 ? a = (x1,y1,z1), b = (x2,y2,z2), ? 第二步 :那么平面法向量為 222111zyxzyxkjin ?二 .立體幾何問(wèn)題的類(lèi)型及解法 ? 、平面間的位置關(guān)系 ? (1)直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系 ? 不重合的兩條直線(xiàn) a,b的方向向量分別為 a ,b. ① 若 a∥ b,即 a=λb,則 a∥ b. ② 若 a⊥ b,即 ab = 0,則 a⊥ b a b a b ? 例 2已知平行六面體 ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形 ,∠ C1CB=∠ C1CD=∠ BCD=θ,求證 : C C1⊥ BD A1 B1 C1 D1 C B A D ? 證明：設(shè)
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