【正文】 3。杭州模擬)已知兩點M(－5,0)和N(5,0)，若直線上存在點P，使|PM|－|PN|＝6，則稱該直線為“R型直線”．給出下列直線：①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1，其中為“R型直線”的是(　　)．A．①② B．①③ C．①④ D．③④解析　由題意可知，點P的軌跡是在雙曲線的右支上，其中2a＝6，a＝3，c＝5，所以b2＝c2－a2＝－＝1(x＞0)．顯然當(dāng)直線y＝x＋1與y＝2和雙曲線的右支有交點，所以為“R型直線”的是①②.答案　A10．(2014湖州一模)已知拋物線y2＝4px(p＞0)與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦點F，點A是兩曲線的交點，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為(　　)．A. B.＋1 C.＋1 D.解析　依題意，得F(p,0)，因為AF⊥x軸，設(shè)A(p，y)，y0，y2＝4p2，所以y＝(p,2p)．又點A在雙曲線上，所以－＝＝p，所以－＝1，化簡，得c4－6a2c2＋a4＝0，即4－62＋1＝＝3＋2，e＝＋1.答案　B二、填空題11．(2014蘭州一模)已知拋物線x2＝4y上一點P到焦點F的距離是5，則點P的橫坐標(biāo)是________．解析　由拋物線定義知，yP＋1＝5，即yP＝4，所以有x＝16，解得xP＝177。4.答案　177。412．(2013上海卷)設(shè)AB是橢圓Γ的長軸，點C在Γ上，且∠CBA＝.若AB＝4，BC＝，則Γ的兩個焦點之間的距離為________．解析　設(shè)D在AB上，且CD⊥AB，AB＝4，BC＝，∠CBA＝45176。，所以有CD＝1，DB＝1，AD＝3，所以有C(1,1)，把C(1,1)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得＋＝1，a2＝b2＋c2且2a＝4，解得，b2＝，c2＝，則2c＝ .答案　 13．已知雙曲線x2－＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點M在雙曲線上且＝0，則M到x軸的距離為________．解析　設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，則可得mn＝4.由△MF1F2的面積可得M到x軸的距離為＝.答案　14．(2014淄博二模)若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1和F2，線段F1F2被拋物線y2＝2bx的焦點分成5∶3兩段，則此雙曲線的離心率為________．解析　拋物線的焦點坐標(biāo)為，由題意知＝，c＝2b，所以c2＝4b2＝4(c2－a2)，即4a2＝3c2，所以2a＝c，所以e＝＝＝.答案　三、解答題15．(2013廣東卷改編)已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F(0，c)(c0)到直線l：x－y－2＝，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點P(x0，y0)為直線l上的定點時，求直線AB的方程．解　(1)依題意，設(shè)拋物線C的方程為x2＝4cy，則＝，c0，解得c＝1.所以拋物線C的方程為x2＝4y.(2)拋物線C的方程為x2＝4y，即y＝x2，求導(dǎo)得y′＝x，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則切線PA，PB的斜率分別為x1，x2，所以切線PA的方程為y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.同理可得切線PB的方程為x2x－2y－2y2＝0，又點P(x0，y0)在切線PA和PB上，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x－2y0－2y＝0 的兩組解，所以直線AB的方程為x0x－2y－2y0＝0.16．已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|AB|.解　(1)設(shè)圓P的半徑為r，則|PM|＝1＋r，|PN|＝3－r，∴|PM|＋|PN|＝4|MN|，∴P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓(左頂點除外)，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.∴P的軌跡曲線C的方程為＋＝1(x≠－2)．(2)由(1)知2r＝(|PM|－|PN|)＋2≤|MN|＋2＝4，∴圓P的最大半徑為r＝(2,0)．圓P的方程為(x－2)2＋y2＝4.①當(dāng)l的傾斜角為90176。，方程為x＝0時，|AB|＝2，②當(dāng)l的傾斜角不為90176。，設(shè)l的方程為y＝kx＋b(k∈R)，解得或∴l(xiāng)的方程為y＝x＋，y＝－x－.聯(lián)立方程化簡得7x2＋8x－8＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴|AB|＝＝.當(dāng)k＝－時，由圖形的對稱性可知|AB|＝.綜上，|AB|＝2或.17．(2014東北三校聯(lián)考)如圖，已知點E(m,0)(m＞0)為拋物線y2＝4x內(nèi)一個定點，過E作斜率分別為k1，k2的兩條直線交拋物線于點A，B，C，D，且M，N分別是AB，CD的中點．(1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面積的最小值；(2)若k1＋k2＝1，求證：直線MN過定點．解　(1)當(dāng)m＝1時，E為拋物線y2＝4x的焦點，∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD.設(shè)直線AB的方程為y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y2－4y－4k1＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4.∵M(jìn)，∴M，同理，點N(2k＋1，－2k1)，∴S△EMN＝|EM||EN|＝＝2≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)k＝，即k1＝177。1時，△EMN的面積取得最小值4.(2)設(shè)直線AB的方程為y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y2－4y－4k1m＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4m，∵M(jìn)，∴M，同理，點N，∴kMN＝＝k1k2.∴直線MN的方程為y－＝k1k2，即y＝k1k2(x－m)＋2，∴直線MN恒過定點(m,2)．18．(2013重慶卷)如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e＝，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A，A′兩點，|AA′|＝4.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P，P′，過P，P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．若PQ⊥P′Q，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．解　(1)由題意知點A(－c,2)在橢圓上，則＋＝1，從而e2＋＝1.由e＝，得b2＝＝8，從而a2＝＝16.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)由橢圓的對稱性，可設(shè)Q(x0,0)．又設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點，則|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4,4])．設(shè)P(x1，y1)，由題意知，P是橢圓上到Q的距離最小的點，因此，上式當(dāng)x＝x1時取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式當(dāng)x＝2x0時取最小值，從而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.因為PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以＝(x1－x0，y1)(x1－x0，－y1)＝0，即(x1－x0)2－y＝0.由橢圓方程及x1＝2x0，得x－8＝0，解得x1＝177。，x0＝＝177。.從而|QP|2＝8－x＝.故這樣的圓有兩個，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為2＋y2＝，2＋y2＝.