一輪復(fù)習(xí)配套講義：第6篇-第3講-二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題-資料下載頁(yè)
2025-04-03 03:13本頁(yè)面
【正文】 若投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元，問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？解 設(shè)投資人分別用x萬元，y萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，由題意知目標(biāo)函數(shù)z＝x＋.上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分(含邊界)即為可行域．將z＝x＋＝－2x＋2z，這是斜率為－2隨z變化的一組平行線，當(dāng)直線y＝－2x＋2z經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)M時(shí)，直線y＝－2x＋2z在y軸上的截距2z最大，z也最大．這里M點(diǎn)是直線x＋y＝＋＝．解方程組得x＝4，y＝6，此時(shí)z＝4＋6＝7(萬元)．∴當(dāng)x＝4，y＝6時(shí)，z取得最大值，所以投資人用4萬元投資甲項(xiàng)目、6萬元投資乙項(xiàng)目，使可能的盈利最大．能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1．(2014昆明模擬)已知x，y滿足條件(k為常數(shù))，若目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y的最大值為8，則k＝( )．A．－16 B．－6 C．－ D．6解析 畫出x，y滿足的可行域如圖，聯(lián)立方程解得即C點(diǎn)坐標(biāo)為，由目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y，得y＝－x＋，平移直線y＝－x＋，可知當(dāng)直線經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，直線y＝－x＋的截距最大，此時(shí)z最大，把C點(diǎn)代入z＝x＋3y，得8＝－＋3，解得k＝－，符合題意．答案 B2．(2014臨沂一模)已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組若目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－ax取得最大值時(shí)的唯一最優(yōu)解是(1,3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )．A．(－∞，－1) B．(0,1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)解析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域BCD，由z＝y(tǒng)－ax，得y＝ax＋z，要使目標(biāo)函數(shù)y＝ax＋z僅在點(diǎn)(1,3)處取最大值，則只需直線y＝ax＋z僅在點(diǎn)B(1,3)處的截距最大，由圖象可知a＞kBD，因?yàn)閗BD＝1，所以a＞1，即a的取值范圍是(1，＋∞)．答案 D二、填空題3．(2013江蘇卷)拋物線y＝x2在x＝1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部與邊界)．若點(diǎn)P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x＋2y的取值范圍是________．解析 ∵y＝x2，∴y′|x＝1＝2x|x＝1＝2.故拋物線y＝x2在x＝1處的切線方程為2x－y－1＝0，設(shè)其與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，則A，B(0，－1)，區(qū)域D為如圖陰影部分，令z＝x＋2y，即y＝－x＋z，易知y＝－x＋z分別過A，B兩點(diǎn)時(shí)z取最大、最小值，∴zmax＝＋20＝，zmin＝0＋2(－1)＝－2，∴x＋2y的取值范圍是.答案 三、解答題4．變量x，y滿足(1)設(shè)z＝，求z的最小值；(2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍；(3)設(shè)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范圍．解 由約束條件作出(x，y)的可行域如圖陰影部分所示．由解得A.由解得C(1,1)．由解得B(5,2)．(1)∵z＝＝.∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kOB＝.(2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.故z的取值范圍是[2,29]．(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(－3,2)的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到(－3,2)的距離中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8.故z的取值范圍是[16,64].學(xué)生用書第102頁(yè)
范文總結(jié)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1