20xx屆二輪復(fù)習(xí)--方法技巧導(dǎo)數(shù)破解疑難優(yōu)質(zhì)課導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問題-學(xué)案-資料下載頁
2025-04-03 02:57本頁面
【正文】 ′(x)的最大值為0.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若f(x1)＋f(x2)＝－1(x1≠x2)，證明：x1＋x22.解：(1)由題意，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝lnx－a(x－1)，記h(x)＝f′(x)，則h′(x)＝.當(dāng)a≤0時(shí)，h′(x)＝0恒成立，所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且h(1)＝0，所以任意x∈(1，＋∞)，h(x)＝f′(x)0，故a≤0不成立．當(dāng)a0時(shí)，若x∈(0，)，則h′(x)＝0；若x∈(，＋∞)，則h′(x)＝0.所以h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，＋∞)上單調(diào)遞減．所以h(x)max＝h()＝－lna＋a－1＝0.令g(a)＝－lna＋a－1，則g′(a)＝1－＝.當(dāng)0a1時(shí)，g′(a)0；當(dāng)a1時(shí)，g′(a)0.所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．所以g(a)≥g(1)＝0，故a＝1.(2)證明：當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝xlnx－x2，則f′(x)＝1＋lnx－x.由(1)知f′(x)＝1＋lnx－x≤0恒成立，所以f(x)＝xlnx－x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(1)＝－，f(x1)＋f(x2)＝－1＝2f(1)．不妨設(shè)0x1x2，則0x11x2，欲證x1＋x22，只需證x22－x1.因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以只需證f(x2)f(2－x1)，又f(x1)＋f(x2)＝－1，所以只需證－1－f(x1)f(2－x1)，即f(2－x1)＋f(x1)－1.令F(x)＝f(x)＋f(2－x)(其中x∈(0,1))，則F(1)＝－1.所以欲證f(2－x1)＋f(x1)－1，只需證F(x)F(1)，x∈(0,1)，F(xiàn)′(x)＝f′(x)－f′(2－x)＝1＋lnx－x－[1＋ln(2－x)－2＋x]，整理得F′(x)＝lnx－ln(2－x)＋2(1－x)，x∈(0,1)，令m(x)＝F′(x)，則m′(x)＝0，x∈(0,1)，所以F′(x)＝lnx－ln(2－x)＋2(1－x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，所以任意x∈(0,1)，F(xiàn)′(x)＝lnx－ln(2－x)＋2(1－x)0，所以函數(shù)F(x)＝f(x)＋f(2－x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，所以F(x)F(1)，x∈(0,1)，故x1＋x22.
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