高考導數(shù)講義一零點問題-資料下載頁
2025-04-17 13:06本頁面
【正文】 a2，其中a0.(Ⅰ)設g(x)為f(x)的導函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；(Ⅱ)證明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)有唯一解.【解析】(Ⅰ)由已知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)g(x)＝f 39。(x)＝2(x－1－lnx－a)所以g39。(x)＝2－當x∈(0，1)時，g39。(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減當x∈(1，＋∞)時，g39。(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增(Ⅱ)由f 39。(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx令Φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx則Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)由u39。(x)＝1－≥0知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1即a0∈(0，1)當a＝a0時，有f 39。(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0再由(Ⅰ)知，f 39。(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增當x∈(1，x0)時，f 39。(x)＜0，從而f(x)＞f(x0)＝0當x∈(x0，＋∞)時，f 39。(x)＞0，從而f(x)＞f(x0)＝0又當x∈(0，1]時，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0故x∈(0，＋∞)時，f(x)≥0綜上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)有唯一解.【考點定位】本題主要考查導數(shù)的運算、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用、函數(shù)的零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.
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