利用導(dǎo)數(shù)分析方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)(4227)-資料下載頁
2025-06-16 22:23本頁面
【正文】 曲線與直線 有兩個不同的交點(diǎn),求的取值范圍.【答案】解:由,得. (I)因?yàn)榍€在點(diǎn)處與直線相切,所以 ,解得,. (II)令,得. 與的情況如下: 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,是的最小值. 當(dāng)時,曲線與直線最多只有一個交點(diǎn)。 當(dāng)時, , 所以存在,使得. 由于函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào),所以當(dāng)時曲線與直線有且只有兩個不同交點(diǎn).綜上可知,如果曲線與直線有且只有兩個不同交點(diǎn),那么的取值范圍是. 已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值。(2)求函數(shù)的極值。(3)當(dāng)?shù)闹禃r,若直線與曲線沒有公共點(diǎn),求的最大值.【答案】解:(Ⅰ)由,得. 又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸, 得,即,解得. (Ⅱ), ①當(dāng)時,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無極值. ②當(dāng)時,令,得,. ,。,. 所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 故在處取得極小值,且極小值為,無極大值. 綜上,當(dāng)時,函數(shù)無極小值。 當(dāng),在處取得極小值,無極大值. (Ⅲ)當(dāng)時, 令, 則直線:與曲線沒有公共點(diǎn), 等價于方程在上沒有實(shí)數(shù)解. 假設(shè),此時, 又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾,故. 又時,知方程在上沒有實(shí)數(shù)解. 所以的最大值為. 解法二: (Ⅰ)(Ⅱ)同解法一. (Ⅲ)當(dāng)時,. 直線:與曲線沒有公共點(diǎn), 等價于關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解,即關(guān)于的方程: (*) 在上沒有實(shí)數(shù)解. ①當(dāng)時,方程(*)可化為,在上沒有實(shí)數(shù)解. ②當(dāng)時,方程(*)化為. 令,則有. 令,得, 當(dāng)變化時,的變化情況如下表:當(dāng)時,同時當(dāng)趨于時,趨于, 從而的取值范圍為.所以當(dāng)時,方程(*)無實(shí)數(shù)解, 解得的取值范圍是. 綜上,得的最大值為.
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