20xx高考數(shù)學文人教a版一輪復習學案：96-雙曲線-【含解析】-資料下載頁
2025-04-03 02:54本頁面
【正文】 +|AF1|=2a,|AF||AF1|=2m,所以|AF|=a+m,|AF1|=am,根據(jù)余弦定理可得|FF1|2=|AF|2+|AF1|22|AF||AF1|cos∠FAF1,即4c2=(a+m)2+(am)22(a+m)(am)cosπ3,化簡得4c2=3m2+a2≥23m2a2=23ma,當且僅當3m2=a2①時,cm=c2am≥32,由a2b2=m2+n2,所以4c23m2b2=m2+n2,所以b2=3n2②,再將①②代入a2b2=m2+n2可得m2=2n2,所以雙曲線的漸近線方程為x2y=0或x+2y=0,故選C.例4324 (方法1)如圖所示,以AD的中點O為原點,以AD為x軸,建立平面直角坐標系.設點C關于點O對稱的點為C39。,由對稱性知,B,A,C39。三點共線.設Γ的方程為x2a2y2b2=1(a0,b0),A(c,0),B(x1,y1),C39。(x2,y2),則直線BC39。的方程為y=x+c.由y=x+c,x2a2y2b2=1得(b2a2)y22b2cy+b4=0,所以Δ=4b4c24b4(b2a2)0,y1+y2=2b2cb2a2,y1y2=b4b2a2.因為|CD|=7|AB|,所以|y2|=7|y1|.因為y1,y2異號,所以y2=7y1.由y2=7y1,y1+y2=2b2cb2a2,解得y1=b2c3(b2a2),y2=7b2c3(b2a2),代入y1y2=b4b2a2,得7c2=9(b2a2),因為b2=c2a2,所以9a2=8c2.所以Γ的離心率e=ca=324.(方法2)如圖,連接AC,BD.設該雙曲線的焦距AD=2c,實軸長為2a,則|BD||AB|=|AC||CD|=2a.設AB=m,則CD=7m,BD=2a+m,AC=2a+7m.依題意,∠BAD=45176。,∠ADC=135176。,在△ABD中,由余弦定理及題設得(2a+m)2=m2+4c222mc,在△ACD中,由余弦定理及題設得(2a+7m)2=49m2+4c2+142mc,整理得2(c2a2)=m(2a+c),2(c2a2)=7m(2ac),兩式相除得1=2a+c7(2ac),即62a=8c,故Γ的離心率e=ca=324.對點訓練4(1)A (2)32,102(1)如圖所示,設雙曲線的焦距為2c,漸近線方程為y=177。bax,則點F(c,0),Ac,bca.設點Bx0,bx0a.∵BF∥OA,∴kOA=kBF,即ba=bx0ax0c,解得x0=c2,∴Bc2,bc2a.∴AB=c2,3bc2a,OB=c2,bc2a.又ABOB=0,∴c24+3b2c24a2=0,即a2=3b2.∵c2=a2+b2,∴a2=3(c2a2),即3c2=4a2,∴離心率e=ca=.(2)將x=c代入雙曲線的方程,得y=177。bc2a21=177。b2a,所以Ac,b2a.又因為|F2Q||F2A|,所以3a2b2a,所以ba232,所以e=ca=1+ba21+32=102.因為|PF1|+|PQ|=2a+|PF2|+|PQ|≥2a+|F2Q|,又在雙曲線C的右支上存在點P使得|PF1|+|PQ|76|F1F2|成立,所以有2a+|F2Q|76|F1F2|,即2a+32a762c,解得e1,所以32e102.例5A 如圖.由已知得|PF1|=|F1F2|=,設切點為M,所以|OM|=a,OM⊥PF2,所以|MF2|=c2a2=|PF2||PF1|=2a,所以|PF2|=2a+2c,所以cos∠OF2M=bc=(2c)2+(2a+2c)2(2c)222c(2a+2c),整理得c==a2+b2,解得ba==177。.對點訓練5A 如圖,設PQ與x軸交于點A,由對稱性可知PQ⊥x軸.∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2.∴PA為以OF為直徑的圓的半徑,A為圓心,∴|OA|=c2.∴Pc2,c2.又點P在圓x2+y2=a2上,∴c24+c24=a2,即c22=a2,∴e2=c2a2=2,∴e=.12
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