高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與最值第二課時教案(編輯修改稿)
2024-11-04 12:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 舉了一個例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區(qū)間”．這說明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某一個區(qū)間上的性質(zhì)，但這不排斥有些函數(shù)在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)或減函數(shù)．因此，今后我們在談?wù)摵瘮?shù)的增減性時必須指明相應(yīng)的區(qū)間．師：還有沒有其他的關(guān)鍵詞語？生：還有定義中的“屬于這個區(qū)間的任意兩個”和“都有”也是關(guān)鍵詞語． 師：你答的很對．能解釋一下為什么嗎？（學(xué)生不一定能答全，教師應(yīng)給予必要的提示．）師：“屬于”是什么意思？ 生：就是說兩個自變量生：可以．師：那么“任意”和“都有”又如何理解？生：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的增減性，而“都有”則是說只要，就必須都小于，或都大于．，必須取自給定的區(qū)間，不能從其他區(qū)間上取．師：如果是閉區(qū)間的話，能否取自區(qū)間端點(diǎn)？師：能不能構(gòu)造一個反例來說明“任意”呢？（讓學(xué)生思考片刻．）生：可以構(gòu)造一個反例．考察函數(shù)，定，顯然，而，在區(qū)間[2，2]上，如果取兩個特定的值，有，若由此判是[2，2]上的減函數(shù)，那就錯了． 師：那么如何來說明“都有”呢？ 生：在[2，2]上，當(dāng)，這時就不能說，時，有；當(dāng)，時，有，在[2，2]上是增函數(shù)或減函數(shù)．師：好極了！通過分析定義和舉反例，我們知道要判斷函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù)，不能由特定的兩個點(diǎn)的情況來判斷，而必須嚴(yán)格依照定義在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個自變量，根據(jù)它們的函數(shù)值和的大小來判定函數(shù)的增減性．（教師通過一系列的設(shè)問，使學(xué)生處于積極的思維狀態(tài)，從抽象到具體，并通過反例的反襯，使學(xué)生加深對定義的理解．在概念教學(xué)中，反例常常幫助學(xué)生更深刻地理解概念，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力．）師：反過來，如果我們已知f（x）在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么，我們就可以通過自變量的大小去判定函數(shù)值的大小，也可以由函數(shù)值的大小去判定自變量的大?。匆话愠闪t特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．這恰是辯證法中一般和特殊的關(guān)系．（用辯證法的原理來解釋數(shù)學(xué)知識，同時用數(shù)學(xué)知識去理解辯證法的原理，這樣的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的內(nèi)涵和外延，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力．）三、概念的應(yīng)用例1 圖4所示的是定義在閉區(qū)間[5，5]上的函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象說出f（x）的單調(diào)區(qū)間，并回答：在每一個單調(diào)區(qū)間上，f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)？（用投影幻燈給出圖象．）生甲：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[5，2]，[1，3]上是減函數(shù)，因此[5，2]，[1，3]是函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間；在區(qū)間[2，1]，[3，5]上是增函數(shù)，因此[2，1]，[3，5]是函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．生乙：我有一個問題，[5，2]是函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，那么，是否可認(rèn)為（5，2）也是f（x）的單調(diào)減區(qū)間呢？ 師：問得好．這說明你想的很仔細(xì)，思考問題很嚴(yán)謹(jǐn)．容易證明：若f（x）在[a，b]上單調(diào)（增或減），則f（x）在（a，b）上單調(diào)（增或減）．反之不然，你能舉出反例嗎？一般來說．若f（x）在[a，b]上單調(diào)（增或減），且[]（增或減）．反之不然．例2 證明函數(shù)f（x）=3x+2在（∞，+∞）上是增函數(shù)．師：從函數(shù)圖象上觀察函數(shù)的單調(diào)性固然形象，但在理論上不夠嚴(yán)格，尤其是有些函數(shù)不易畫出圖象，因此必須學(xué)會根據(jù)解析式和定義從數(shù)量上分析辨認(rèn)，這才是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑．（指出用定義證明的必要性．）師：怎樣用定義證明呢？請同學(xué)們思考后在筆記本上寫出證明過程．（教師巡視，并指定一名中等水平的學(xué)生在黑板上板演．學(xué)生可能會對如何比較和的大小關(guān)系感到無從入手，教師應(yīng)給以啟發(fā)．）師：對于和我們?nèi)绾伪容^它們的大小呢？我們知道對兩個實(shí)數(shù)a，b，如果，][a，b]，則f（x）在[，a＞b，那么它們的差ab就大于零；如果a=b，那么它們的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它們的差ab就小于零，反之也成立．因此我們可由差的符號來決定兩個數(shù)的大小關(guān)系．生：（板演）設(shè)，是（∞，+∞）上任意兩個自變量，當(dāng)，所以f（x）是增函數(shù)．師：他的證明思路是清楚的．一開始設(shè)設(shè)，是（∞，+∞）內(nèi)任意兩個自變量，并時，（邊說邊用彩色粉筆在相應(yīng)的語句下劃線，并標(biāo)注“①→設(shè)”），然后看，這一步是證明的關(guān)鍵，再對式子進(jìn)行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可概括為“作差，變形”（同上，劃線并標(biāo)注”②→作差，變形”）．但美中不足的是他沒能說明為什么＜0，沒有用到開始的假設(shè)“”，不要以為其顯而易見，在這里一定要對變形后的式子說明其符號．應(yīng)寫明“因?yàn)閤1＜x2，所以，從而＜0，即．”這一步可概括為“定符號”（在黑板上板演，并注明“③→定符號”）．最后，作為證明題一定要有結(jié)論，我們把它稱之為第四步“下結(jié)論”（在
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